Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Để chứng tỏ một mệnh đề P. ( n ) phụ thuộc vào vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥ m ( m là số tự nhiên cho trước ), ta thực thi theo hai bước sau :
Bước 1 : Chứng minh rằng P. ( n ) đúng khi n = m .
Bước 2 : Với k là một số ít tự nhiên tùy và k ≥ m. Giả sử P. ( n ) đúng khi n = k, ta sẽ chứng tỏ P. ( n ) cũng đúng khi n = k + 1 .
Theo nguyên tắc quy nạp toán học, ta Kết luận rằng P. ( n ) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ m

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 1.4 + 2.7 + … + n(3n + 1) = n(n + 1)2 (1)

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1 ta có :
Vế trái = 1. 4 = 4 .
Vế phải = 1. ( 1 + 1 ) 2 = 4 .
=> Vế trái = Vế phải. Vậy ( 1 ) đúng với n = 1 .
+ Giả sử ( 1 ) đúng với n = k ; k ∈ N * ; tức là ta có :
1.4 + 2.7 + ⋅ ⋅ ⋅ + k ( 3 k + 1 ) = k ( k + 1 ) 2 ( 2 )
Ta chứng tỏ nó cũng đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng tỏ :
1.4 + 2.7 + ⋅ ⋅ ⋅ + k ( 3 k + 1 ) + ( k + 1 ) ( 3 k + 4 ) = ( k + 1 ) ( k + 2 ) 2
+ Thật vậy do 1.4 + 2.7 + … + k. ( 3 k + 1 ) = k ( k + 1 ) 2 nên
1.4 + 2.7 + ⋯ + k ( 3 k + 1 ) + ( k + 1 ). ( 3 k + 4 ) = k ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) ( 3 k + 4 )
= k ( k2 + 2 k + 1 ) + 3 k2 + 4 k + 3 k + 4
= k3 + 2 k2 + k + 3 k2 + 7 k + 4 = k3 + 5 k2 + 8 k + 4 = ( k + 1 ). ( k + 2 ) 2
Do đó ( 1 ) đúng với mọi số nguyên dương n .

Ví dụ 2: Chứng ming rằng với mọi số nguyên dương n ta có :

Quảng cáo

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1 :

Vế trái

Vế phải

=> Vế trái = Vế phải. Vậy ( 1 ) đúng với n = 1 .
+ Giả sử ( 1 ) đúng với n = k ; k ∈ N *. Có nghĩa là ta có :

Vậy ( 1 ) đúng khi n = k + 1. Do đó ( 1 ) đúng với mọi số nguyên dương n .

Ví dụ 3: Với mỗi số nguyên dương n, gọi un = 9n − 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8.

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1 ta có u1 = 91 − 1 = 8 chia hết cho 8 ( đúng ) .
+ Giả sử uk = 9 k − 1 chia hết cho 8 với k ∈ N *
Ta cần chứng tỏ : uk + 1 = 9 k + 1 − 1 chia hết cho 8 .
* Thật vậy, ta có uk + 1 = 9 k + 1 − 1 = 9.9 k − 1 = 9 ( 9 k − 1 ) + 8 = 9 uk + 8 .
Vì 9 uk và 8 đều chia hết cho 8
=> uk + 1 = 9 k + 8 ⋮ 8 .
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 8 .

Quảng cáo

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta luôn có: 2n + 1 > 2n+ 3 (*)

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 2 ta có : 22 + 1 = 8 và 2.2 + 3 = 7
=> 8 > 7 nên ( * ) đúng khi n = 2
+ Giả sử với n = k ; k ≥ 2 thì ( * ) đúng, có nghĩa ta có : 2 k + 1 > 2 k + 3 ( 1 ) .
Ta phải chứng tỏ ( * ) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng tỏ :
2 k + 2 > 2 ( k + 1 ) + 3
* Thật vậy, nhân hai vế của ( 1 ) với 2 ta được :
2.2 k + 1 > 2 ( 2 k + 3 ) ⇔ 2 k + 2 > 4 k + 6 > 2 ( k + 1 ) + 3
Vậy 2 k + 2 > 2 ( k + 1 ) + 3 ( đúng ) .
Do đó theo nguyên lí quy nạp, ( * ) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1 :

Vế trái của (1) = 1 và vế phải của (1)

Vậy ( 1 ) đúng với n = 1 .
* Giả sử ( 1 ) đúng với n = k ; k ∈ N *. Có nghĩa là ta có :

Ta chứng tỏ ( 1 ) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng tỏ :

* Thật vậy 12+32+52+⋅⋅⋅+(2k − 1)2+(2k+1)2 = + (2k+1)2 (thế (2) vào).

Vậy ( 1 ) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, ( 1 ) đúng với mọi số nguyên dương n .

Ví dụ 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương n và n ≥ 5 thì 2n > n2 (*)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 5 ta có : 25 > 52 ( vì 32 > 25 ) ( đúng ) .
Vậy ( * ) đúng với n = 5 .
* Giả sử với n = k ; k ≥ 5 thì ( * ) đúng, có nghĩa ta có : 2 k > k2 ( 1 ) .
Ta phải chứng tỏ ( * ) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng tỏ : 2 k + 1 > ( k + 1 ) 2
* Thật vậy, nhân hai vế của ( 1 ) với 2 ta được :
2. 2 k > 2. k2 ⇔ 2 k + 1 > k2 + k2
⇔ 2 k + 1 > k2 + 2 k + 1 = ( k + 1 ) 2 ( vì k2 > 2 k + 1 với mọi k ≥ 5 ) .
Vậy ( * ) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 5 .

Ví dụ 7: Chứng minh với mọi số nguyên n ta có:

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1 :

Vế trái của (1) = 1. 2= 2, vế phải của (1)

Suy ra ( 1 ) đúng với n = 1 .
* Giả sử ( 1 ) đúng với n = k ; k ∈ N *. Có nghĩa là ta có :

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)=
(2)

* Ta phải chứng tỏ ( 1 ) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng tỏ :

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)=

Thật vậy :
1.2 + 2.3 + 3.4 + ⋅ ⋅ ⋅ + k ( k + 1 ) + ( k + 1 ) ( k + 2 )

Vậy ( 1 ) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, ( 1 ) đúng với mọi số nguyên dương n .

Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

1.2 + 2.5 + 3.8 + .. + n ( 3 n − 1 ) = n2 ( n + 1 ) ( 1 )

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1 :
Vế trái của ( 1 ) = 2, vế phải của ( 1 ) = 12. ( 1 + 1 ) = 2 .
Suy ra ( 1 ) đúng với n = 1 .
* Giả sử ( 1 ) đúng với n = k ; k ∈ N *. Có nghĩa là ta có :
1.2 + 2.5 + 3.8 + ⋅ ⋅ ⋅ + k ( 3 k − 1 ) = k2 ( k + 1 ) ( 2 )
Ta phải chứng tỏ ( 1 ) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng tỏ :
1.2 + 2.5 + 3.8 + ⋅ ⋅ ⋅ + k ( 3 k − 1 ) + ( k + 1 ) ( 3 k + 2 ) = ( k + 1 ) 2 ( k + 2 )
Thật vậy :
1.2 + 2.5 + 3.8 + ⋅ ⋅ ⋅ + k ( 3 k − 1 ) + ( k + 1 ) ( 3 k + 2 ) = k2 ( k + 1 ) + ( k + 1 ) ( 3 k + 2 )
= ( k + 1 ) ( k2 + 3 k + 2 ) = ( k + 1 ) ( k + 1 ) ( k + 2 ) = ( k + 1 ) 2 ( k + 2 ) ( đpcm ) .
Vậy ( 1 ) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, ( 1 ) đúng với mọi số nguyên dương n .

Ví dụ 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n3 − n chia hết cho 3

Hướng dẫn giải:

Đặt un = n3 − n
* Ta có u1 = 13 − 1 = 0 chia hết cho 3
=> đúng với n = 1 .
* Giả sử uk = k3 − k chia hết cho 3 .
Ta cần chứng tỏ uk + 1 = ( k + 1 ) 3 − ( k + 1 ) chia hết cho 3 .
* Thật vậy, uk + 1 = k3 + 3 k2 + 3 k + 1 − k − 1 = k3 + 3 k2 + 2 k
⇔ uk + 1 = ( k3 − k ) + ( 3 k2 + 3 k ) = uk + 3 ( k2 + k )
Vì uk và 3 ( k2 + k ) đều chia hết cho 3, nên uk + 1 cũng chia hết cho 3 .
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3 .

Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 2n3 − 3n2 + n chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải:

* Đặt un = 2 n3 − 3 n2 + n
* Ta có : u1 = 2. 13 − 3. 12 + 1 = 0 chia hết cho 6
=> đúng với n = 1 .
* Giả sử uk = 2 k3 − 3 k2 + k chia hết cho 6 .
Ta cần chứng tỏ : uk + 1 = 2. ( k + 1 ) 3 − 3. ( k + 1 ) 2 + k + 1 chia hết cho 6 .
* Thật vậy ta có : uk + 1 = 2. k3 + 6 k2 + 6 k + 2 − 3 k2 − 6 k − 3 + k + 1
⇔ uk + 1 = 2 k3 + 3 k2 + k = 2 k3 − 3 k2 + k + 6 k2 = uk + 6 k2
Vì uk và 6 k2 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6 .
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6 .

Ví dụ 11: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 13n − 1 chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải:

* Đặt un = 13 n − 1
* Với n = 1, ta có u1 = 131 − 1 = 12 chia hết cho 6
=> đúng với n = 1 .
* Giả sử uk = 13 k − 1 chia hết cho 6 ( với k ∈ N * ) .
Ta cần chứng tỏ : uk + 1 = 13 k + 1 − 1 ⋮ 6 .
* Thật vậy ta có : uk + 1 = 13. 13 k − 1 = 13 ( 13 k − 1 ) + 12 = 13.uk + 12
Vì 13 uk và 12 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6 .
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6 .

Ví dụ 12: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 3 thì 3n > n2 + 4n + 5 (*)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 3 ta có 33 > 32 + 4.3 + 5 ⇔ 27 > 26 ( đúng ) .
Vậy ( * ) đúng với n = 3 .

* Giả sử với n = k ; k ≥ 3 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 3k > k2 + 4k + 5 (1).

Ta phải chứng tỏ ( * ) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng tỏ :
3 k + 1 > ( k + 1 ) 2 + 4 ( k + 1 ) + 5
* Thật vậy, nhân hai vế của ( 1 ) với 3 ta được : 3.3 k > 3. k2 + 12 k + 15
⇔ 3 k + 1 > ( k2 + 2 k + 1 ) + 4 ( k + 1 ) + 5 + ( 2 k2 + 6 k + 5 ) ( 2 )
Vì ( 2 k2 + 6 k + 5 ) > 0 với mọi k ≥ 3 ( 3 )
Từ ( 2 ) và ( 3 ) suy ra : 3 k + 1 > ( k2 + 2 k + 1 ) + 4 ( k + 1 ) + 5
Hay 3 k + 1 > ( k + 1 ) 2 + 4 ( k + 1 ) + 5
Vậy ( * ) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3 .

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..+ n(n+1).(n+2) =
(1)

Hiển thị đáp án
* Với n = 1 :

Vế trái của (1) = 1.2.3= 6, vế phải của

Suy ra ( 1 ) đúng với n = 1 .* Giả sử ( 1 ) đúng với n = k ; k ∈ N *. Có nghĩa là ta có :

1.2.3+2.3.4+3.4.5+⋅⋅⋅+k(k+1)(k+2) =
(2)

Ta phải chứng tỏ ( 1 ) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng tỏ :

Thật vậy :

Vậy ( 1 ) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, ( 1 ) đúng với mọi số nguyên dương n .

Câu 2: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ≥ 2 ta có:

Hiển thị đáp án
* Với n = 2 :

Vế trái của
, vế phải của

Suy ra ( 1 ) đúng với n = 2 .
* Giả sử ( 1 ) đúng với n = k .
Có nghĩa là ta có :

Ta chứng minh (1) đúng với n= k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy ta có:

Vậy ( 1 ) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, ( 1 ) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 .

Câu 3: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

Hiển thị đáp án
* Với n = 1 :
Vế trái của ( 1 ) = 1, vế phải của ( 1 ) = 2 √ 1 = 2 .
Suy ra ( 1 ) đúng với n = 1 .
* Giả sử ( 1 ) đúng với n = k ; k ≥ 1
Có nghĩa là ta có :

Ta phải chứng tỏ ( 1 ) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng tỏ :

* Thật vậy :

Vì:

⇔ 2 √ ( k ( k + 1 ) ) + 1 < 2 ( k + 1 ) ⇔ 2 √ ( k2 + k ) < 2 k + 1 ⇔ 4 ( k2 + k ) < ( 2 k + 1 ) 2 ⇔ 4 k2 + 4 k < 4 k2 + 4 k + 1 ( luôn đúng ) do đó ( 3 ) luôn đúng với mọi số nguyên dương k . Vậy ( 1 ) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, ( 1 ) đúng với mọi số nguyên dương n .

Câu 4: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

Hiển thị đáp án

*Với n = 1: Vế trái của
, vế phải của

Suy ra ( 1 ) đúng với n = 1 .
* Giả sử ( 1 ) đúng với n = k. Có nghĩa là ta có :

Ta phải chứng tỏ ( 1 ) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng tỏ :

Thật vậy :


Vậy ( 1 ) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, ( 1 ) đúng với mọi số nguyên dương n .

Câu 4: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

Hiển thị đáp án

* Với n = 1: Vế trái của
, vế phải của
.

Suy ra ( 1 ) đúng với n = 1 .
* Giả sử ( 1 ) đúng với k ; k ∈ N *. Có nghĩa là ta có :

Ta phải chứng tỏ ( 1 ) đúng với n = k + 1. Ta phải chứng tỏ :

* Thật vậy :


Vậy ( 1 ) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, ( 1 ) đúng với mọi số nguyên dương n .

Câu 5: Chứng minh với mọi số nguyên n thì n3 + 11n chia hết cho 6.

Hiển thị đáp án
+ Với n = 1 ta có 13 + 11. 1 = 12 chia hết cho 6 đúng .
+ Giả sử với n = k ( k ∈ N * ) thì k3 + 11 k chia hết cho 6 .
Ta phải chứng tỏ với n = k + 1 thì ( k + 1 ) 3 + 11 ( k + 1 ) chia hết cho 6 .
+ Thật vậy ta có :
( k + 1 ) 3 + 11 ( k + 1 ) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1 + 11 k + 11 = ( k3 + 11 k ) + 3 k ( k + 1 ) + 12 ( * )
+ Do k3 + 11 k chia hết cho 6 theo bước 2 .
k ( k + 1 ) ⋮ nên 3 k ( k + 1 ) ⋮ 6
và 12 ⋮ 6
=> ( k3 + 11 k ) + 3 k ( k + 1 ) + 12 ⋮ 6
Từ đó suy ra ( k + 1 ) 3 + 11 ( k + 1 ) ⋮ 6 ( đpcm ) .

Câu 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.

Hiển thị đáp án
* Đặt un = n3 + 3 n2 + 5 n
* Ta có u1 = 13 + 3.12 + 5. 1 = 9 ⋮ 3 .
=> đúng với n = 1
* Giả sử uk = k3 + 3 k2 + 5 k ⋮ 3 .
Ta cần chứng tỏ uk + 1 = ( k + 1 ) 3 + 3. ( k + 1 ) 2 + 5 ( k + 1 ) ⋮ 3
* Thật vậy, uk + 1 = k3 + 3 k2 + 3 k + 1 + 3 k2 + 6 k + 3 + 5 k + 5
⇔ uk + 1 = ( k3 + 3 k2 + 5 k ) + ( 3 k2 + 9 k + 9 ) = uk + 3 ( k2 + 3 k + 3 )
Vì uk ⋮ 3 và 3 ( k2 + 3 k + 3 ) ⋮ 3 nên uk + 1 ⋮ 3
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3 .

Câu 7: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 4n + 15n − 1 chia hết cho 9

Hiển thị đáp án
* Đặt un = 4 n + 15 n − 1
* Với n = 1, ta có u1 = 41 + 15. 1 − 1 = 18 chia hết cho 9
=> đúng với n = 1 .
* Giả sử uk = 4 k + 15 k − 1 chia hết cho 9 .
Ta cần chứng tỏ uk + 1 = 4 k + 1 + 15 ( k + 1 ) − 1 chia hết cho 9 .
* Thật vậy ta có : uk + 1 = 4.4 k + 15 k + 14 = 4 ( 4 k + 15 k − 1 ) − 45 k + 18 = 4.uk + 9 ( 2 − 5 k )
Vì 4 uk và 9 ( 2 − 5 k ) đều chia hết cho 9, nên uk + 1 cũng chia hết cho 9 .
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9 .

Câu 8: Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì 4n + 6n + 8 chia hết cho 9

Hiển thị đáp án
* Đặt un = 4 n + 6 n + 8
* Với n = 1, ta có u1 = 41 + 6. 1 + 8 = 18 chia hết cho 9
=> đúng với n = 1 .
* Giả sử uk = 4 k + 6 k + 8 chia hết cho 9 .
Ta cần chứng tỏ uk + 1 = 4 k + 1 + 6 ( k + 1 ) + 8 chia hết cho 9 .
Thật vậy ta có uk + 1 = 4. 4 k + 6 k + 14 = 4. ( 4 k + 6 k + 8 ) − 18 k + 18 = 4.uk + 18 ( 1 − k )
Vì 4 uk và 18 ( 1 − k ) đều chia hết cho 9, nên uk + 1 cũng chia hết cho 9 .
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9

Câu 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 7.22n − 2 + 32n − 1 chia hết cho 5?

Hiển thị đáp án
* Đặt un = 7. 22 n − 2 + 32 n − 1
* Với n = 1, ta có u1 = 7. 22. 1 − 2 + 32. 1 − 1 = 10 chia hết cho 5
=> đúng với n = 1 .
* Giả sử uk = 7. 22 k − 2 + 32 k − 1 chia hết cho 5 .
Ta cần chứng tỏ uk + 1 = 7.22 k + 32 k + 1 chia hết cho 5 .
Thật vậy ta có uk + 1 = 4. ( 7.22 k − 2 + 32 k − 1 ) − 4. 32 k − 1 + 32 k + 1 = 4 uk + 5.32 k − 1
Vì 4.uk và 5.32 k − 1 đều chia hết cho 5, nên uk + 1 cũng chia hết cho 5 .
Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 5 .

Câu 10: Chứng minh với mọi n nguyên và n ≥ 4 ta có: 3n − 1 > n(n+ 2) (1)

Hiển thị đáp án
* Với n = 4, VT = 34 − 1 = 27 và VP = 4. ( 4 + 2 ) = 24
=> 27 > 24 nên ( 1 ) đúng với n = 4
* Giả sử với k ≥ 4 ; k ∈ N ta có : 3 k − 1 > k ( k + 2 ) .
Ta cần chứng tỏ : 3 k > ( k + 1 ) ( k + 3 )
Thật vậy, ta có : 3 k = 3.3 k − 1 > 3 k. ( k + 2 ) .
Lại có :
3 k ( k + 2 ) > ( k + 1 ) ( k + 3 ) ⇔ 2 k2 + 2 k − 4 > 0 bất đẳng thức này đúng với mọi k ≥ k .
Suy ra 3 k > ( k + 1 ) ( k + 3 ) ( đúng ) .
Do đó theo nguyên lí quy nạp, ( * ) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 4 .

Câu 11: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 2 ta có :

Hiển thị đáp án

* Đặt

* Với n= 2 ta có

=> đúng với n = 2 .
* Giả sử với n = k ≥ 2 ; k ∈ N thì ( * ) đúng, có nghĩa ta có :

* Ta phải chứng tỏ ( * ) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng tỏ :

* Thật vậy ta có :

*Vậy uk+1 > uk >
(đúng). Vậy (*) đúng với n = k + 1.

* Suy ra ( * ) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 .

Câu 12: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: nn ≥ (n+1)n − 1 ( 1)

Hiển thị đáp án
* Với n = 1 ta có 11 ≥ ( 1 + 1 ) 0 hay 1 ≥ 1 ( đúng ) .
Vậy ( 1 ) đúng với n = 1 .
* Giả sử với n = k ; k ∈ N * thì ( 1 ) đúng, có nghĩa ta có : kk ≥ ( k + 1 ) k − 1 ( 2 ) .
Ta phải chứng tỏ ( 1 ) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng tỏ :
( k + 1 ) k + 1 ≥ ( k + 2 ) k
Thật vậy, nhân hai vế của ( 2 ) với ( k + 1 ) k + 1 ta được :





Vậy ( * ) đúng với n = k + 1. Do đó ( * ) đúng với mọi số nguyên dương n .
Xem thêm những dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp

Source: https://dvn.com.vn
Category: Hỏi Đáp