Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C là điểm nằm trên đường tròn (C khác A và B). D là điểm thuộc cung nhỏ BC.
Câu hỏi:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C là điểm nằm trên đường tròn (C khác A và B). D là điểm thuộc cung nhỏ BC. Tia AC cắt tia BD tại E, AD cắt BC tại F.
a) Chứng minh tứ giác CFDE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh BF.BC = BD.BE
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CFDE. Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Lời giải tham khảo:
.png)
a) Ta có: \(\widehat {ACB} = {90^0}\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\widehat {ECF} + \widehat {ACB} = {180^0}\) (Hai góc kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {ECF} = {180^0} – \widehat {ACB} = {180^0} – {90^0} = {90^0}\)
Tương tự ta có: \(\widehat {EDF} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {ECF} + \widehat {EDF} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
=> Tứ giác CFDE nội tiếp (Vì tổng hai góc đối nhau bằng 1800)
b) Theo kết quả câu a, tứ giác CFDE nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {BFD} = \widehat {CED}\) (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
Xét \(\Delta BDF\) và \(\Delta BCE\) có: \(\left. \begin{array}{l}
\widehat B{\rm{ chung}}\\
\widehat {BFD} = \widehat {CED}{\rm{ (cmt)}}
\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta BDF \sim \Delta BCE\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{BF}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{BC}} \Rightarrow BF.BC = BD.BE\) (dpcm)
c) Theo câu a, ta có \(\Delta ECF\) và \(\Delta EDF\) là các tam giác vuông. Mà I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CFDE nên I là trung điểm của EF=>CI là đường trung tuyến của \(\Delta ECF \Rightarrow CI = \frac{1}{2}{\rm{EF}} \Rightarrow IC = IE \Rightarrow \Delta CIE\) cân tại I \( \Rightarrow \widehat {ECI} = \widehat {IEC}\) hay \(\widehat {ECI} = \widehat {FEC}\) (1)
Tứ giác CFDE nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {FEC} = \widehat {FDC}\) (Cùng chắn cung FC) hay \( \Rightarrow \widehat {FEC} = \widehat {ADC}\) (2)
Tứ giác ACDB nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (Cùng chắn cung AC) (3)
Tam giác BOC có OB = OC \( \Rightarrow \Delta BOC\) cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB}\) hay \(\widehat {ABC} = \widehat {OCB}\) (4)
Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra \(\widehat {OCB} = \widehat {ECI}\). Mà \(\widehat {ECI} + \widehat {FCI} = {90^0} \Rightarrow \widehat {OCB} + \widehat {FCI} = {90^0}\) suy ra CI là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Lưu ý: Đây là câu hỏi tự luận.
ANYMIND360
