Chuyên đề bất đẳng thức – Nguyễn Tất Thu – Mục lục – THỨC Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ – Studocu
Mục Lục
Mục lục
- THỨC Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG
- 1 Khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức
- 1.1 Số thực dương, số thực âm
- 1.1 Khái niệm bất đẳng thức
- 1.1 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
- thức 1 Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng
- 1.2 Dự đoán dấu “=” xảy ra
- 1.2 Kĩ thuật chuẩn hóa
- 1.2 Bài tập
- 1 Hướng dẫn, đáp số
- Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
- 2 Bất đẳng thức AM-GM
- 2.1 Bất đẳng thức AM-GM
- 2.1 Các hệ quả
- 2.1 Các ví dụ
- 2.1 Bài tập
- 2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
- 2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức
- 2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức
- 2.2 Các ví dụ
- 2.2 Bài tập
- 2 Bất đẳng thức Schur
– - 2.3 Bất đẳng thức Schur 2 Mục lục
- 2.3 Các trường hợp đặc biệt
- 2.3 Bất đẳng thức Schur suy rộng
- 2.3 Các ví dụ
- 2.3 Bài tập
- 2 Bất đẳng thức AM-GM
- 2 Hướng dẫn, đáp số
- 2 Tài liệu tham khảo
4 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Định nghĩa 1. Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số. Khi đó các
mệnh đề có dạng:
” A lớn hơn B “, ký hiệu : A > B
” A nhỏ hơn B “, ký hiệu :A < B
” A lớn hơn hay bằng B ” ký hiệu A > B
” A nhỏ hơn hay bằng B ” ký hiệu A 6 B
được gọi là một bất đẳng thức.
Quy ước :
- Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta
hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. - Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức
đó đúng.
1 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Tính chất 1. (Tính chất bắc cầu) nếu
a > b
b > c
thì a > c
Tính chất 1. a > b ⇔ a + c > b + c
Hệ quả 1: a > b ⇔ a − c > b − c.
Hệ quả 2: a + c > b ⇔ a > b − c.
Tính chất 1.
a > b
c > d
⇒ a + c > b + d
Tính chất 1. a > b ⇔
ac > bc nếu c > 0
ac < bc nếu c < 0
Hệ quả 3: a > b ⇔ −a < −b.
Hệ quả 4: a > b ⇔
a
c
>
b
c
nếu c > 0
a
c
<
b
c
nếu c < 0
.
- Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức 5
Tính chất 1.
{
a > b > 0
c > d > 0
⇒ ac > bd
Tính chất 1. a > b > 0 ⇔ 0 <
1
a
<
1
b
Tính chất 1. a > b > 0, n ∈ N∗ ⇒ an > bn
Tính chất 1. a > b > 0, n ∈ N∗ ⇒ n
p
a >
pn
b
Hệ quả 5:
- Nếu a và b là hai số dương thì : a > b ⇔ a 2 > b 2
- Nếu a và b là hai số không âm thì : a > b ⇔ a 2 > b 2.
Tính chất 1. Với mọi a, b ∈ R ta có:- |a + b| 6 |a| + |b|
- |a − b| 6 |a| + |b|
- |a + b| = |a| + |b| ⇔ a > 0
- |a − b| = |a| + |b| ⇔ a 6 0.
1 Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về
bất đẳng thức
1 Dự đoán dấu “=” xảy ra
Trong chứng minh bất đẳng thức, việc dự đoán dấu “=” xảy ra khi
nào có ý nghĩa rất quan trọng. Trong một số trường hợp, việc dự
đoán dấu “=” xảy ra giúp định hướng tìm lời giải. Thông thường, với
các bất đẳng thức đối xứng ba biến thì đẳng thức xảy ra khi ba biến
bằng nhau, với các bất đẳng thức hoán vị thì đẳng thức có khi hai
biến bằng nhau, với các bất đẳng thức có biến thuộc đoạn
[
α; β
]
thì
đẳng thức xả ra khi có một biến bằng α hoặc β, · · ·
- Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức 7
Lời giải. Vì x, y, z > 0 nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi có một số
bằng 0. Ta giả sử z = min {x, y, z}, ta có
x y + yz + zx > x y;
1
(y − z) 2
>
1
y 2
và
1
(z − x) 2
>
1
x 2
.
Suy ra
V T > x y
[
1
(x − y) 2
- 1
x 2 - 1
y 2]1
x
y - y
x
− 2 - x
y - yx1
t − 2 - t
Với t =
x
y
+
y
x
> 2.
Ta chứng minh
1
t − 2 - t > 4 ⇔ 1 + t 2 − 2 t > 4 t − 8 ⇔ t 2 − 6 t + 9 > 0 ⇔ (t − 3) 2 > 0.
Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi z = 0
x
y
+
y
x
= 3 ⇔ x =
3 ± p 5
2
y, y > 0.
Ví dụ 1.
Cho a, b, c > 0 thỏa a + 4 b + 9 c = 6ứng minh rằng
a 3 + b 3 + c 3 >
1
- Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số thực dương ta có
a 3 + x 3 + x 3 > 3 x 2 a hay a 3 + 2 x 3 > 3 x 2 a.
Tương tự: b 3 + 2 y 3 > 3 y 2 b, c 3 + 2 z 3 > 3 z 2 c với x, y, z là các số thực
dương.
Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta có được:
a 3 + b 3 + c 3 + 2
(
x 3 + y 3 + z 3
)
> 3
(
x 2 a + y 2 b + z 2 c
)
.
Ta chọn x, y, z sao cho
x 2 =
y 2
4
=
z 2
9
= k 2 ⇒ x = k, y = 2 k, z = 3 k.
8 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Mà
a + 4 b + 9 c = 6 ⇒ k + 8 k + 27 k = 6 ⇒ k =
1
6
⇒ x =
1
6 ,
y =
1
3 ,
z =
1
2.
Suy ra a 3 + b 3 + c 3 >
1
6
. Đẳng thức xảy ra khi a =
1
6
, b =
1
3
, c =
1
2
.
1 Kĩ thuật chuẩn hóa
- Bất đẳng thức thuần nhất: Bất đẳng thức có dạng
f (a 1 , a 2 , · · · ., an) > 0 (1) với ai ∈ D.
Được gọi là thuần nhất nếu
f (ka 1 , ka 2 , · · · ., kan) = f (a 1 , a 2 , · · · ., an) với mọi k ∈ D. - Nếu (1) là bất đẳng thức thuần nhất thì ta có thể giả sử g (a 1 , a 2 , · · · ., an) =
0 với g (a 1 , a 2 , · · · ., an) là một biểu thức thuần nhất.
Ví dụ 1.
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
a(b + c)
(b + c) 2 + a 2
- b(c + a)
(c + a) 2 + b 2 - c(a + b)
(a + b) 2 + c 2
6
6
- Lời giải. Không mất tính tổng quát, ta giả sử a + b + c = 3. Khi đó,
bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
a (3 − a)
(3 − a) 2 + a 2
- b (3 − b)
(3 − b) 2 + b 2 - c (3 − c)
(3 − c) 2 + c 2
6
6
- Hay là
1
2 a 2 − 6 a + 9
- 1
2 b 2 − 6 b + 9 - 1
2 c 2 − 6 c + 9
6
3
5
(1).
Ta tìm đánh giá
1
2 a 2 − 6 a + 9
6 m (a − 1) +
1
5
(2).
10 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Ta chứng minh
(9 + 2 bc)
(
b 2 c 2 − 4 bc + 8
)
6 100 ⇔ 2(bc) 3 + (bc) 2 − 20 bc − 28 6 0
⇔ (2bc − 7)
(
(bc) 2 + 4(bc) + 4
)
6 0 ⇔ (2bc − 7) (bc + 2) 2 6 0 (4).
Vì
9 = a 2 + b 2 + c 2 6 3 a 2 ⇒ a 2 > 3 ⇒ b 2 + c 2 6 6.
Suy ra 2 bc − 7 6 b 2 + c 2 − 7 6 − 1 < 0 nên (4) đúng. Vậy bài toán được
chứng minh.
Ví dụ 1.
Cho các số thực dương a, b, c thỏa abc = 1. Chứng minh rằng
1
a + b + 1
+
1
b + c + 1
+
1
c + a + 1
6 1.
Lời giải. Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau
1
a + b +
p 3
abc
+
1
b + c +
p 3
abc
+
1
c + a +
p 3
abc
6
1
p 3
abc
.
Hay là
1
x 3 + y 3 + x yz
+
1
y 3 + z 3 + x yz
+
1
z 3 + x 3 + x yz
6
1
x yz
.
Với x = 3
p
a, y =
p 3
b, z = 3
p
c. Ta có
x 3 + y 3 > x y (x + y) ⇒ x 3 + y 3 + x yz > x y (x + y + z)
Do đó
1
x 3 + y 3 + x yz
6
1
x yz
.
z
x + y + z
.
Tương tự:
1
y 3 + z 3 + x yz
6
1
x yz
.
x
x + y + z
và
1
z 3 + x 3 + x yz
6
1
x yz
.
y
x + y + z
.
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có đpcm.
- Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức 11
Ví dụ 1.
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng :
x 2 + y 2 + z 2 > 3
(
x 2 y + y 2 z + z 2 x
)
.
Lời giải. Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau
(
x 2 + y 2 + z 2
)
(x + y + z) > 3
(
x 2 y + y 2 z + z 2 x
)
Hay
x 3 + y 3 + z 3 + x 2 z + y 2 x + z 2 y > 2
(
x 2 y + y 2 z + z 2 x
)
(5).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
x 3 + x y 2 > 2 x 2 y; y 3 + yz 2 > 2 y 2 z và z 3 + zx 2 > 2 z 2 x.
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức (5). Vậy bài toán
được chứng minh.
1 Bài tập
Bài tập 1. Cho a, b, c > 0 .Chứng minh:
abc(a + b + c) + (a 2 + b 2 + c 2 )
2
> 4
√
3(a 2 + b 2 + c 2 )abc.
Bài tập 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
(a + b + c) 2
a 2 + b 2 + c 2
- 1
2
(
a 3 + b 3 + c 3
abc
−
a 2 + b 2 + c 2
ab + bc + ca
)
> 4.
Bài tập 1. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
7 (a + b + c) (ab + bc + ca) 6 9 abc + 2(a + b + c) 3.
Bài tập 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng
a 2
b
+
b 2
c
+
c 2
a
> 3(a 2 + b 2 + c 2 ).
Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
2 Bất đẳng thức AM-GM
Bất đẳng thức AM − GM là bất đẳng thức cổ điển được sử dụng
nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ta biết trung
bình cộng của nsố thực a 1 , a 2 , · · · , an là số
a 1 + a 2 + · · · + an
n
và trung
bình nhân của n số đó là n
p
a 1 a 2 · · · an (với điều kiện là n
p
a 1 a 2 · · · an
tồn tại). Bất đẳng thức AM − GM cho chúng ta đánh giá giữa trung
bình cộng của các số thực không âm và trung bình nhân của chúng.
Cụ thể như sau:
2 Bất đẳng thức AM-GM
Định lí 2. (BĐT AM-GM) Cho n số thực không âm a 1 , a 2 , · · · , an.
ta có
a 1 + a 2 + · · · + an
n
> n
p
a 1 · a 2 · · · an
đẳng thức xảy ra khi a 1 = a 2 = · · · = an.
Chứng minh. Có nhiều cách đề chứng minh bất đẳng thức AM −
GM, dưới đây ta sẽ chứng minh bất đẳng thức AM−GM bằng phương
pháp quy nạp.
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức AM − GM cho trường hợp
14 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
n = 2. Tức là, cần chứng minh
a 1 + a 2
2
>
p
a 1 .a 2
Bất đẳng thức này tương đương với
a 1 + a 2 > 2
p
a 1 a 2 ⇔
(p
a 1 − pa 2
) 2
> 0
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi a 1 = a 2.
Tiếp theo ta chứng minh cho trường hợp n = 4. Tức là cần chứng
minh
a 1 + a 2 + a 3 + a 4
4
> 4
p
a 1 .a 2 .a 3 .a 4
Áp dụng trường hợp n = 2 ta có
a 1 + a 2
2
>
p
a 1 .a 2
và
a 3 + a 4
2
>
p
a 3 .a 4
Do đó
a 1 + a 2 + a 3 + a 4
4
=
a 1 + a 2
2
+
a 3 + a 4
2
2
>
p
a 1 a 2 + pa 3 a 4
2
> 4
p
a 1 a 2 a 3 a 4
Nên trường hợp n = 4 được chứng minh.
Tiếp đến ta chứng minh trường hợp n = 3 , tức là chứng minh
a 1 + a 2 + a 3
3
> 3
p
a 1 .a 2 .a 3
Đặt a 4 =
a 1 + a 2 + a 3
3
. Áp dụng cho trường hợp n = 4 ta có
a 1 + a 2 + a 3 + a 4
4
> 4
p
a 1 .a 2 .a 3 .a 4
Hay
a 1 + a 2 + a 3 +
a 1 + a 2 + a 3
3
4
>
4
√
a 1 .a 2 .a 3.
a 1 + a 2 + a 3
3
16 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
Thật vậy: Đặt an =
a 1 + a 2 + · · · + an− 1
n − 1
. ÁP dụng bất đẳng thức Cô si
cho n số ta có
a 1 + a 2 + · · · + an
n
> n
p
a 1 a 2 · · · an
Hay
a 1 + a 2 + · · · + =
a 1 + a 2 + · · · + an− 1
n − 1
n
>
n
√
a 1 a 2 · · · an− 1. =
a 1 + a 2 + · · · + an− 1
n − 1
Suy ra
a 1 + a 2 + · · · + an− 1
n − 1
> n− 1
p
a 1 .a 2 · · · an− 1
(đpcm). Từ hai bước trên ta có bất đẳng thức AM − GM được chứng
minh.
2 Các hệ quả
Cho các số thực dương a 1 , a 2 , · · · , an. Ta có
1
a 1
+
1
a 2
+ · · · +
1
an
>
n 2
a 1 + a 2 + · · ·. + an
Đẳng thức xảy ra khi a 1 = a 2 = · · · = an.
2 Các ví dụ
Ví dụ 2.
Cho a, b, c > 0 thỏa a 2 + b 2 + c 2 = 3. Chứng minh rằng
a 5 + b 5 + c 5 > 3.
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
a 5 + a 5 + 1 + 1 + 1 > 3 a 2 hay 2 a 5 + 3 > 3 a 2.
Tương tự
- Bất đẳng thức AM-GM 17
2 b 5 + 3 > 3 b 2 và 2 c 5 + 3 > 3 c 2.
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có đpcm.
Nhận xét 1. Ta có bài toán tổng quát như sau Cho a, b, c > 0 thỏa
mãn a + b + c = 3 (hoặc abc = 1 ) và m, n ∈ N, m > n. Khi đó
am + bm + cm > an + bn + cn (1).
Bất đẳng thức (1) còn đúng khi m, n là các số hữu tỉ dương. Và ta có
thể tổng quát 3 biến thành k biến.
Ví dụ 2.
Cho a, b, c > 0 thỏa ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng
a 3 + b 3 + c 3 > 3.
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
a 3 + b 3 + 1 > 3 ab
b 3 + c 3 + 1 > 3 bc
c 3 + a 3 + 1 > 3 ca. Cộng ba bất đẳng thức trên ta có đpcm.
Ví dụ 2.
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
a 4
b 2 (c + a)
- b 4
c 2 (a + b) - c 4
a 2 (b + c)
>
a + b + c
2
.
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
a 4
b 2 (c + a) - b
2 - b
2 - c + a
4
> 2 a
hay
a 4
b 2 (c + a) - b +
c + a
4
> 2 a.
Tương tự, ta cũng có
- Bất đẳng thức AM-GM 19
Lời giải. Vì αi là các số hữu tỉ dương và
∑n
i= 1
αi = 1 nên tồn tại các
số nguyên dương N, k 1 , k 2 , · · · , kn sao cho αi =
ki
N
. Áp dụng bất đẳng
thức AM-GM cho N số, ta có
∑ n
i= 1
αi·ai =
a 1 + a 1 + · · · + a 1
︸ ︷︷ ︸
k 1 số
+ · · · + an + an + · · · + an
︸ ︷︷ ︸
kn số
N
> a
k 1
N
1 · · · a
kn
N
n = a
α 1
1 · · · a
αn
n.
Bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 2.
Cho các số thực dương a 1 , a 2 , · · · , an. Chứng minh rằng
(1 + a 1 )(1 + a 2 ) · · · (1 + an) >
(
1 + n
p
a 1 .a 2 · · · an
)n
.
Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
1
√ n(1 + a
1 )(1 + a 2 ) · · · (1 + an)
- n
√
a 1 a 2 · · · an
(1 + a 1 )(1 + a 2 ) · · · (1 + an)
6 1 (1).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
V T(1) 6
1
n
∑ 1
i= 1
1
1 + ai - 1
n
∑ 1
i= 1
ai
1 + ai
= 1.
Bài toán được chứng minh.
Ví dụ 2.
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a
b + c - b
c + a - c
a + b
>
3
2
(Bất đẳng thức Nesbit).
Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( a
b + c
+ 1
)
+
(
b
c + a - 1
) - ( c
a + b - 1
)
>
9
2
20 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
Hay
(a + b + c)
(
1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
)
>
9
2
(1).
Ta có
1
a + b
+
1
b + c
+
1
c + a
>
9
a + b + b + c + c + a
=
9
2 (a + b + c)
Nên (1) đúng.
Ví dụ 2.
Cho các số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 1. Chứng minh
rằng
1
a 2 + b 2 + c 2
+
1
ab
+
1
bc
+
1
ca
> 30.
Lời giải. Ta có:
ab + bc + ca 6
(a + b + c) 2
3
=
1
3
1
ab
+
1
bc
+
1
ca
>
9
ab + bc + ca
1
a 2 + b 2 + c 2
+
1
ab + bc + ca
+
1
ab + bc + ca
>
9
(a + b + c) 2
= 9.
Do đó
V T >
1
a 2 + b 2 + c 2
+
9
ab + bc + ca
=
1
a 2 + b 2 + c 2
+
1
ab + bc + ca
+
1
ab + bc + ca
+
7
ab + bc + ca
> 9 +
7
1
3
= 30.
Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn : x y + yz + zx = 3 .Chứng
minh rằng:
1
x yz
+
4
(x + y)(y + z)(z + x)
>
3
2.
