Đề thi Olympic Toán 11 năm 2019 – 2020 trường THPT Mỹ Đức A – Hà Nội

Nhằm cung cấp tài liệu ôn tập, bổ sung về môn Tiếng Anh cho các em trong quá trình ôn tập. Xin giới thiệu với các em Đề thi Olympic Toán 11 năm 2019 – 2020 trường THPT Mỹ Đức A – Hà Nội. Đề thi gồm 5 câu hỏi thuộc dạng tự luận. Chúc các em làm bài tốt! Trường THPT Mỹ Đức  A ĐỀ CHÍNH THỨC ­­­­­­­­ KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019 ­ 2020 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ oOo ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Họ và tên thí sinh: ……………………………………… …  Số báo danh: ………… Câu 1. (5 điểm) a) Giải phương trình lượng giác:  b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:  Câu 2. (4 điểm) a) Cho  hãy tính tổng  sau:  b) Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số  tự  nhiên thuộc đoạn  Tính xác suất để tổng các lập phương của ba số được viết ra chia hết cho 3.  Câu 3. (5 điểm) a) Một tứ giác có bốn  góc tạo thành một cấp số nhân và số  đo góc lớn nhất gấp 8   lần số đo góc nhỏ nhất. Tính số đo các góc của tứ giác b) Cho dãy số   được xác định bởi   Tìm cơng thức của số hạng tổng qt   theo   Câu 4. (5 điểm) Cho mặt phẳng  và hai đường thẳng chéo nhau  cắt  tại . Gọi  là đường thẳng  thay đổi ln song song với , cắt tại cắt  tại  Đường thẳng qua ln song song với   cắt  tại  a) Tứ giác là hình gì? b) Tìm tập hợp các điểm  c) Gọi là trung điểm của là trung điểm của  Chứng minh rằng  là đường thẳng cố  định khi  di động Câu 5. (1 điểm) Cho các số thực dương  thỏa mãn điều kiện:  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   biết: ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ HẾT ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MƠN TỐN LỚP 11 Câu 1 5,0 đ a) 3,0 đ Nội dung Điểm 0,5 đ 0,5 đ b) 2,0 đ Giá trị nhỏ nhất của hàm số :  đạt được tại   Giá trị lớn nhất của hàm số :  đạt được tại  0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Nội dung Điểm Câu 2 4,0 đ Số hạng tổng qt    0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Số phần tử của khơng gian mẫu là:   Đoạn  có 6 số chia hết cho 3; có 7 số chia cho 3 dư 1; 7 số chia cho 3 dư 2 Với mọi số tự nhiên   ta ln có   Do đó tổng lập phương của ba số chia hết  khi và chỉ khi tổng của ba số đó  chia hết cho 3 TH1: Cả 3 số được viết chia hết cho 3: có   khả năng xảy ra TH2: Cả 3 số được viết chia cho 3 dư 1: có   khả năng xảy ra TH3: Cả 3 số đều chia cho 3 dư 2 : có   khả năng xảy ra TH4: Cả 3 số  được viết gồm 1 số chia hết cho 3; 1 số chia 3 dư 1 và 1 số  chia 3 dư 2: có   khả năng xảy ra  Số kết quả thuận lợi là     Xác suất cần tính là    0,25 đ 0,25 đ Nội dung Điểm Giả sử bốn góc A, B, C, D   theo thứ tự lập thành  cấp  số nhân với cơng  bội  . Ta có  0,5 đ a) 2,0 đ b) 2,0 đ Câu 3 5,0 đ a) 2,5 đ b) 2,5 đ Ta có hệ  Suy ra  Với mọi  , ta có :  Xét dãy số  , với  . ta có   Do đó, dãy số   là 1 cấp số nhân  có cơng bội   và số hạng đầu bằng ­2 Suy ra  Vậy  0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Câu 4 Nội dung 5,0 đ Điể m d d2 d1 I M N ( ) 0,5 đ N’ a) 2,0 đ A B b O α Có AM // NN’ Do d // d1 nên tồn tại mặt phẳng  chứa d và d1 b) 2,0 đ  là hình bình hành Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d2, vì d // d1 nên (P) // d1.  Do (P) chứa đường thẳng cố định d2 và song song với đường thẳng cố định d1 nên (P) cố  định N’ là điểm chung của (α) và (P) nên  Gọi  Vậy tập hợp các điểm N’ là đường thẳng b 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Dựng đường thẳng qua E và song song với d1 cắt d2 tại N0, Dựng đường thẳng  qua N0  song song với AE, đường thẳng này cắt d1 tại M0.  c) 1,0 đ 0,5 đ Câu 5 1,0 đ Nội dung Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:   Đặt:  Khi đó     khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của H bằng 2 Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách giải khác ngồi đáp án và vẫn đúng thì vẫn cho  điểm tối đa của câu đó Điể m 0,25  đ 0,25  đ 0,25  đ 0,25  đ … Số phần tử c? ?a? ?khơng gian mẫu là:   Đoạn  có 6 số chia hết cho 3; có 7 số chia cho 3 dư 1; 7 số chia cho 3 dư 2 Với mọi số tự nhiên   ta ln có   Do đó tổng lập phương c? ?a? ?ba số chia hết  khi và chỉ khi tổng c? ?a? ?ba số đó … Do đó tổng lập phương c? ?a? ?ba số chia hết  khi và chỉ khi tổng c? ?a? ?ba số đó  chia hết cho 3 TH1: Cả 3 số được viết chia hết cho 3: có   khả năng xảy ra TH2: Cả 3 số được viết chia cho 3 dư 1: có   khả năng xảy ra TH3: Cả 3 số đều chia cho 3 dư 2 : có   khả năng xảy ra… Giả sử bốn góc? ?A,  B, C, D   theo thứ tự lập thành  cấp  số nhân với cơng  bội  . Ta có  0,5 đ a) 2,0 đ b) 2,0 đ Câu 3 5,0 đ a) 2,5 đ b) 2,5 đ Ta có hệ  Suy ra  Với mọi  , ta có :  Xét dãy số  , với  . ta có  

– Xem thêm –

Xem thêm: Đề thi Olympic Toán 11 năm 2019 – 2020 trường THPT Mỹ Đức A – Hà Nội,

Source: https://dvn.com.vn/
Category : Olympic