0,999… – Wikipedia tiếng Việt

Con số lê dài với vô hạn chữ số 9 .

Trong toán học, số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,999… hay còn được viết

0,

9
¯

;

0,

9
˙

{\displaystyle {\mbox{0,}}{\bar {9}};{\mbox{0,}}{\dot {9}}}

{\mbox{0,}}{\bar {9}};{\mbox{0,}}{\dot {9}} hoặc

0,(9)

{\displaystyle {\mbox{0,(9)}}\,\!}

{\mbox{0,(9)}}\,\! là một số thực bằng 1. Nói cách khác: ký hiệu 0,999… và 1 đều thể hiện cùng một số thực. Điều này đã được nhiều giáo sư toán học trên thế giới công nhận và được giảng dạy trong nhiều sách giáo khoa[1][2][3][4]. Nhiều cách chứng minh khác nhau đã được trình bày, dựa vào nhiều phép tính toán trên các số thực, các kiến thức đã được công nhận và tùy theo mục đích của người đọc. Trong thực tế, số thực có thực có thể được đại diện bởi một dãy số thập phân vô hạn và sự thực này mới nhìn giống như một nghịch lý. Điều này có thể tránh được với nhiều hệ thống số hay cách biểu diễn số khác như vi phân: một đại lượng biến thiên nhỏ vô cùng luôn chạy về 0 nhưng không bao giờ bằng 0, số p-adic.

Có nhiều cách để chứng minh điều này : vận dụng những kiến thức và kỹ năng số học, đại số, giải tích, chuỗi vô hạn, vận dụng chia khoảng chừng và tính bị chặn, dựa vào cấu trúc của những số thực, dãy Cauchy … Dưới đây là những cách đơn thuần nhất .

Phân số và phép chia[sửa|sửa mã nguồn]

Ta có :

0,333 … = 1 3 3 × 0,333 … = 3 × 1 3 = 3 × 1 3 0,999 … = 1 { \ displaystyle { \ begin { aligned } { \ mbox { 0,333 } } \ dots và { } = { \ frac { 1 } { 3 } } \ \ 3 \ times { \ mbox { 0,333 } } \ dots và { } = 3 \ times { \ frac { 1 } { 3 } } = { \ frac { 3 \ times 1 } { 3 } } \ \ { \ mbox { 0,999 } } \ dots và { } = 1 \ end { aligned } } }{\begin{aligned}{\mbox{0,333}}\dots &{}={\frac {1}{3}}\\3\times {\mbox{0,333}}\dots &{}=3\times {\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1}{3}}\\{\mbox{0,999}}\dots &{}=1\end{aligned}} 0,111 … = 1 9 9 × 0,111 … = 9 × 1 9 = 9 × 1 9 0,999 … = 1 { \ displaystyle { \ begin { aligned } { \ mbox { 0,111 } } \ dots và { } = { \ frac { 1 } { 9 } } \ \ 9 \ times { \ mbox { 0,111 } } \ dots và { } = 9 \ times { \ frac { 1 } { 9 } } = { \ frac { 9 \ times 1 } { 9 } } \ \ { \ mbox { 0,999 } } \ dots và { } = 1 \ end { aligned } } }{\begin{aligned}{\mbox{0,111}}\dots &{}={\frac {1}{9}}\\9\times {\mbox{0,111}}\dots &{}=9\times {\frac {1}{9}}={\frac {9\times 1}{9}}\\{\mbox{0,999}}\dots &{}=1\end{aligned}}

Một phiên bản rút gọn khác là

1 = 9 9 = 9 × 1 9 = 9 × 0,111 ⋯ = 0,999 … { \ displaystyle 1 = { \ frac { 9 } { 9 } } = 9 \ times { \ frac { 1 } { 9 } } = 9 \ times { \ mbox { 0,111 } } \ dots = { \ mbox { 0,999 } } \ dots }1={\frac {9}{9}}=9\times {\frac {1}{9}}=9\times {\mbox{0,111}}\dots ={\mbox{0,999}}\dots

Cả hai phép chứng tỏ đều cho thấy giá trị của 0,999 … phải bằng 1. Đơn giản hơn, ta có 3/3 = 1

Biến đổi số học[sửa|sửa mã nguồn]

Đặt :

x = 0,999 … 10 x = 9,999 … 10 x − x = 9,999 … − 0,999 … 9 x = 9 x = 1 0,999 … = 1 { \ displaystyle { \ begin { aligned } x và = { \ mbox { 0,999 } } \ ldots \ \ 10 x và = { \ mbox { 9,999 } } \ ldots \ \ 10 x – x và = { \ mbox { 9,999 } } \ ldots – { \ mbox { 0,999 } } \ ldots \ \ 9 x và = 9 \ \ x và = 1 \ \ { \ mbox { 0,999 } } \ ldots và = 1 \ end { aligned } } }
{\begin{aligned}x&={\mbox{0,999}}\ldots \\10x&={\mbox{9,999}}\ldots \\10x-x&={\mbox{9,999}}\ldots -{\mbox{0,999}}\ldots \\9x&=9\\x&=1\\{\mbox{0,999}}\ldots &=1\end{aligned}}

Vấn đề tương quan[sửa|sửa mã nguồn]

Con rùa bò trước chàng lực sĩ Asin. Dù Asin chạy rất nhanh nhưng không bao giời đuổi kịp rùa vì mỗi lần chàng đến nơi rùa đã đến thì nó đã kịp bò một đoạn. Do đó dù khoảng cách giữa chàng và rùa ngày càng rút ngắn nhưng Asin vẫn không theo kịp rùa. Điều này hoàn toàn có thể xử lý đơn thuần bằng cách tìm số lượng giới hạn của tổng vô hạn những số dãy số có cấp số lớn hơn 0 và bé hơn 1. Ví dụ :

lim n → ∞ 1 − ( 1 4 ) n + 1 1 − 1 4 = 1 1 − 1 4 = 4 3. { \ displaystyle \ lim _ { n \ to \ infty } { \ frac { 1 – \ left ( { \ frac { 1 } { 4 } } \ right ) ^ { n + 1 } } { 1 – { \ frac { 1 } { 4 } } } } = { \ frac { 1 } { 1 – { \ frac { 1 } { 4 } } } } = { \ frac { 4 } { 3 } }. }\lim _{{n\to \infty }}{\frac {1-\left({\frac 14}\right)^{{n+1}}}{1-{\frac 14}}}={\frac {1}{1-{\frac 14}}}={\frac 43}.

Tổng vô hạn những số hạng trong dãy số :

1
+

1
4

+

1

4

2

+

1

4

3

+
⋯
=

4
3

.

{\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}.}

1+{\frac 14}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={\frac 43}.

Nếu công nhận số hoàn toàn có thể chia cho 0 và thì sẽ xảy ra nhiều nghịch lý. Ví dụ :

+ ∞ = 1 0 = 1 − 0 = − 1 0 = − ∞ { \ displaystyle + \ infty = { \ frac { 1 } { 0 } } = { \ frac { 1 } { – 0 } } = – { \ frac { 1 } { 0 } } = – \ infty }+\infty ={\frac {1}{0}}={\frac {1}{-0}}=-{\frac {1}{0}}=-\infty

một con số tồn tại trong máy tính, phát sinh do một số phương pháp biểu diễn số nguyên âm và hầu hết các phương pháp biểu diễn số chấm động (floating point). Toán học không có định nghĩa tương đương về số âm không, do đó, −0 và 0 là hoàn toàn như nhau. Trong các khoa học khác, −0 có thể được sử dụng để biểu thị một số lượng nhỏ hơn không, nhưng không đáng kể, nên không thể làm tròn thành một con số có nghĩa.

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Source: https://dvn.com.vn
Category: Hỏi Đáp

Bài viết liên quan
Bài Mới Nhất
Alternate Text Gọi ngay