Thế rốt cuộc, tại sao 1+1=2 và chúng ta học Toán làm cái gì?

Hôm nọ tôi có một cuộc trò chuyện vui với đứa cháu con ông anh, mới thi đỗ vào chuyên Toán Trường chuyên Đại học Sư Phạm, cũng là nơi cấp 3 tôi học trước kia (lúc bấy giờ chưa phải là trường mà chỉ là Khối chuyên Toán-Tin thuộc ĐHSP Hà Nội). Nếu nói đến chuyên toán Sư phạm thì không thể thiếu các lớp chuyên đề, và khi nói đến các lớp chuyên đề thì không thể thiếu những “quái kiệt” chuyên luyện đội tuyển HSG thời đấy. Hình có thầy Nguyễn Minh Hà, Đại có thầy Nguyễn Minh Đức, và đặc biệt Số có thầy Hà Duy Hưng. 

– Thế cháu có học thầy Hưng ở lớp chuyên đề không ?- Có ạ

– Thế đang học chuyên đề gì thế? 

– Chuyên đề về tập hợp chú ạ .- Thế có được nghe về bài tại sao 1 + 1 = 2 không ? – Tôi cười hỏi .- Có chú ạ .- Thế có hiểu gì không ?- Không ạ – Cu cháu tỏ vẻ ái ngại .Thực ra hồi đấy chúng tôi cũng không mấy người hiểu, không, thực ra là chẳng có ai hiểu thì đúng hơn. Đến lượt cháu con ông anh thì chắc cũng phải mười lăm mười sáu thế hệ những thể loại học chuyên đề không hiểu được bài giảng đấy của thầy rồi .Nhưng sau cuộc trò chuyện đấy, tôi ngồi tâm lý tương đối nhiều về việc đấy, về việc ” tại sao 1 + 1 = 2 “. Tôi nỗ lực dựa vào lời của cậu cháu con anh bạn tôi để nhớ lại thầy Hưng từng dạy gì, cũng như hỏi một vài người bạn của tôi hiện tại vẫn theo đuổi ngành Toán để có được một câu vấn đáp thỏa đáng cho tôi. Một câu vấn đáp ở mức độ một người không còn đi theo Toán thuần túy như tôi hoàn toàn có thể hiểu được, và diễn giải được cho những người có hứng thú với yếu tố này hiểu được .

SỐ TỰ NHIÊN VÀ CÁC PHÉP TOÁN SỐ HỌC

Đầu tiên phải nói rằng, 1 + 1 = 2 không phải tiên đề như nhiều người vẫn nghĩ. Trên thực tế 1 + 1 = 2 là một mệnh đề có thể chứng minh được nếu như có các điều kiện đi trước (tiên đề) quy định những khái niệm trong mệnh đề này. Vì vậy trước khi đi vào việc đấy thì ta cần tìm hiểu một vài khái niệm trước. 

1- Số tự nhiên

” Chúa tạo ra số nguyên, tổng thể những thứ còn lại là mẫu sản phẩm của con người ” – Leopold Kronecker

Để nguồn gốc của số tự nhiên là một chủ đề dài dòng, nhưng chúng ta có thể hiểu rằng số tự nhiên là một hình thức đếm các sự vật tự nhiên của con người. Việc đếm này có thể xuất phát từ những quy luật trong sự quan sát các sự vật tự nhiên. Nếu như sử dụng ngôn ngữ tự nhiên, chúng ta có thể hiểu về quy luật đếm này thông qua ví dụ như sau:

– Một là số lượng mũi mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.

– Hai là số lượng mắt mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có. 

( Ở đây không đi sâu vào việc từ nguyên của những khái niệm mũi, mắt, mèo … mà chỉ dùng ví dụ này để lý giải cho việc quan sát tự nhiên. Các khái niệm trên đều hoàn toàn có thể pháp luật theo cách khác, nhưng đấy là việc của ngôn ngữ học và xin không bàn trong bài viết này. )Việc đếm này trọn vẹn mang đặc thù định lượng, không có tính định tính. Có nghĩa là trong khi đếm, tất cả chúng ta đã mặc định rằng những vật được đếm có cùng ” đặc thù ” như nhau. Việc pháp luật đặc thù này, khi đặt ngoài phạm trù Toán học, thì hoàn toàn có thể rất linh động, nhưng khi đưa vào trong Toán học thì buộc phải có sự như nhau. Giả sử tất cả chúng ta đếm một rổ quả, thì rổ đó hoàn toàn có thể có 5 quả cam, nhưng cũng hoàn toàn có thể có 3 quả cam và 2 quả chanh. Nếu như tất cả chúng ta pháp luật rằng việc đếm dành cho riêng đặc thù ” cam ” của quả và ” chanh ” của quả thì tất cả chúng ta sẽ có 3 quả cam và 2 quả chanh nhưng nếu như tất cả chúng ta quy tổng thể những vật trong rổ đều cùng một đặc thù ” quả ” thì tất cả chúng ta vẫn sẽ có 5 ” quả “. Trong toán học thuần túy, việc đếm được mặc định là không có những đặc thù trên, hay là mặc định như nhau về đặc thù ( cho công minh trong những trường hợp trao đổi ví dụ điển hình ). Và để biểu lộ cho việc định tính này, lịch sử dân tộc loài người tận mắt chứng kiến những phương pháp khác nhau của những nền văn minh / dân tộc bản địa khác nhau :- Người Ai Cập vận dụng mạng lưới hệ thống chữ tượng hình của họ cho việc đếm :
– Người La Mã sử dụng mạng lưới hệ thống số La Mã :

Các chữ số hiện tại chúng ta dùng như: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 chẳng qua chỉ là một loại ký hiệu nhằm biểu thị việc đếm mà thôi. Tuy nhiên, khi nhìn ở khía cạnh Toán học thì chúng không chỉ đơn thuần là đếm nữa mà chúng trở thành đối tượng Toán học (mathemetical object). Và khi đã là đối tượng Toán học, thì ngoài chức năng đếm, chúng còn phải đảm bảo thêm hai điều: 

– Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các suy diễn logic

– Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các chứng minh trong toán học

Có một câu hỏi là: liệu chúng ta có thể sử dụng các ký hiệu khác thay cho 0, 1, 2, 3… hay không thì câu trả lời là CÓ. Tuy nhiên việc sử dụng các ký hiệu khác không có tính ứng dụng, do các quy chuẩn như quy chuẩn về ký hiệu số tự nhiên đã được chấp nhận và sử dụng quá lâu, ngoài ra còn một điểm quan trọng nữa là chúng phục vụ tốt mục đích của chúng. 

2- Các phép toán số học sơ cấp (Elementary Arithmetic) và tiên đề Peano (Peano Anxioms)

Một trong những nhánh đầu tiên của Toán học cổ đại là Số học sơ cấp, với sự ra đời của các phép toán sơ cấp. Phép toán là những phép tính lấy đầu vào là hai hay nhiều toán hạng (hoặc phần tử) để đưa ra một ra trị đầu ra. Các phép toán của số học sơ cấp bao gồm:

– Phép cộng: Biểu hiện việc thêm vào, được ký hiệu bằng “+”

– Phép trừ: Biểu hiện việc giảm đi, và là đảo ngược của phép cộng, được ký hiệu bằng “-“

– Phép nhân: Biểu hiện việc nhân bản (scaling operation), cho phép hiển thị phép cộng nhiều toán hạng giống nhau thông qua số lượng toán hạng và ký hiệu “x”

– Phép chia: Là phép đảo ngược của phép nhân, và được ký hiệu là “:”

Vào thế kỷ thứ 19, nhà toán học Giuseppe Peano (27 tháng 8 năm 1858 – 20 tháng 4 năm 1932) đã sử dụng các khái niệm về số tự nhiên và phép toán số học sơ cấp để đưa ra các định đề nhằm xác định các tính chất của số tự nhiên, gọi chung là hệ tiên đề Peano. Hệ tiên đề này bao gồm 9 định đề :

Định đề tiên phong nói rằng hằng số 0 là 1 số ít tự nhiên :1. 0 là một số ít tự nhiênBốn định đề tiếp theo diễn đạt quan hệ bằng nhau2. Với mỗi số tự nhiên x, x = x. Quan hệ bằng nhau có tính phản thân ( reflexive )3. Với tổng thể những số tự nhiên x và y, nếu như x = y thì y = x. Quan hệ bằng nhau có tính đối xứng4. Với tổng thể những số tự nhiên x, y, và z, nếu như x = y thì y = z và x = z. Quan hệ bằng nhau có tính bắc cầu5. Với mỗi a và b, nếu b là 1 số ít tự nhiên và a = b thì a cũng là số tự nhiên. Với phép bằng nhau, tập hợp số tự nhiên là một hệ đóng .( Một tập hợp đóng trong điều kiện kèm theo phép toán a là khi triển khai phép toán a lên những thành phần của tập hợp ta chỉ được hiệu quả là một thành phần của tập hợp đấy )Các định đề còn lại định hình đặc thù phép toán trong tập hợp số tự nhiên. Nếu coi tập hợp số tự nhiên là đóng trong điều kiện kèm theo hàm tiết triển đơn trị S :

(Hàm tiết triển (successor function) là hàm cho phép đưa ra kết quả tiếp theo trong dãy, còn Hàm đơn trị (single-valued) là hàm mà qua hàm, với mỗi phần tử thuộc tập nguồn chỉ tương ứng với một phần tử duy nhất trong tập đích.)

6. Với mỗi số tự nhiên n, S ( n ) là 1 số ít tự nhiên. Tập hợp số tự nhiên là tập hợp đóng so với điều kiện kèm theo hàm S.7. Với mỗi số tự nhiên m và n, m = n khi và chỉ khi S ( m ) = S ( n ). S là một hàm đơn ánh8. Với mỗi số tự nhiên n, S ( n ) = 0 là sai. Không có số tự nhiên nào trước 0 .9. Nếu K là một tập hợp mà :

• 0 thuộc K
• Với mỗi số tự nhiên n, n thuộc K mà S(n) cũng thuộc K thì K chứa tất cả các số tự nhiên

Nếu như chiếu theo hệ định đề Peano, chúng ta có thể hiểu rằng, 0 là số tự nhiên đầu tiên, và tất cả các số tự nhiên khác chỉ là sản phẩm của hàm S. Có thể hiểu như sau:

Ta có dãy N khởi đầu bằng 0 .Phần tử tiếp theo của dãy N là loại sản phẩm của hàm tiết triển S so với 0, ký hiệu là S ( 0 ). Theo quy tắc như vậy, tất cả chúng ta sẽ có loại sản phẩm tiếp theo là S ( S ( 0 ) ), S ( S ( S ( 0 ) ) ) … Và dãy N sẽ như thế này :N = 0, S ( 0 ), S ( S ( 0 ) ), S ( S ( S ( 0 ) ) ), …Các phép toán trong thông số tự nhiên gồm có phép Cộng và Nhân, được thiết kế xây dựng như sau :

Phép cộng: 

a + 0 = aa + S ( b ) = S ( a + b )

Phép nhân:

a. 0 = 0a. S ( b ) = ( a. b ) + a

CHỨNG MINH 1 + 1 = 2

Trước khi sử dụng hệ tiên đề Peano để chứng tỏ : 1 + 1 = 2, xin nói rằng đây không phải là cách duy nhất. Trên trong thực tiễn, còn có những cách khác để xử lý yếu tố này :

1.  Định danh/Định nghĩa: Không phải chứng minh mà sử dụng việc gán định nghĩa. Tức là 2 := 1 + 1. Ở đây ta sử dụng ký hiệu “2” để gán cho kết quả của phép biến đổi “1 + 1”. Cách này sẽ trả lời cho một câu hỏi phát sinh: Tại sao ” 1 + 1 ” lại ” = 2″ chứ không phải ” = 3″? Với việc gán định nghĩa này, thì bằng 3, 4, 5, hay 6 đều được, nhưng chúng không có ý nghĩa về mặt toán học. 

Lý do: Nếu như sử dụng việc định nghĩa, thì “1 + 1 = 2” gần với ngôn ngữ tự nhiên hơn là ngôn ngữ Toán học. Khi đó thì hoàn toàn có thể hiểu rằng “phép thêm vào giữa một với một cho ra một kết quả, kết quả đó được đặt tên là hai”. 

Và vì như vậy, với một biến đổi khác, chúng ta lại phải lặp lại quy trình định danh/định nghĩa trên. Trong khi đó, nếu như “1”, “2”, “+”, “=” là các đối tượng Toán học, thì chúng còn phải có thể sử dụng để thực hiện các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học nữa. Mà để thực hiện được các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học thì chúng ta cần phải đặt ra các “điều luật cơ bản” về các yếu tố trong một hệ thống logic (Toán học là một dạng hệ thống logic). Các điều luật cơ bản này được gọi là hệ tiên đề/tiên đề. 

Chúng ta công nhận hệ tiên đề không phải vì chúng tuyệt đối đúng, mà vì chúng là những điều luật cơ bản để từ đó tất cả chúng ta tăng trưởng được những phép đổi khác khác trong mạng lưới hệ thống sử dụng những điều luật này. Có thể so sánh việc này với chơi cờ vua vậy. Kỳ thủ sẽ không hỏi ” Tại sao lại có luật này ? ” mà sẽ chỉ sử dụng những điều luật đó để đạt được những tác dụng mà mạng lưới hệ thống luật đấy được cho phép .

2. Cách chứng minh của Alfred North Whitehead và Bertrand Russell trong cuốn “Principia Mathematica”

Nhiều người nói rằng đây là cách chứng tỏ 300 trang, nhưng thực ra thì không phải. Chỉ có một phần trong cuốn sách này được dùng để chứng tỏ 1 + 1 = 2 thôi. Và đấy là trang này :

∗54.43. ⊢((α,β∈1) ⊃ ((α∩β=Λ) ≡ (α∪β∈2)))

Tôi sẽ không lý giải cách chứng tỏ này ở đây mà sẽ để dành cho một bài viết khác, khi tôi thực sự hoàn toàn có thể hiểu hết những gì viết ở mấy dòng trên .*Bây giờ quay trở lại với chứng tỏ ” 1 + 1 = 2 ” trải qua hệ tiên đề Peano. Để tóm gọn lại, với một hàm tiết triển đơn trị S, quan hệ bằng nhau và phép cộng, ta có 🙁 1 ) Với mỗi m và n, S ( m ) = S ( n ) khi và chỉ khi m = n( 2 ) Với tập hợp số tự nhiên N là tập hợp đóng dưới hàm S, với mỗi a nằm trong tập hợp N thì hoặc là a = 0, hoặc là a = S ( b ) với b cũng nằm trong N( 3 ) Không có sống sót số n nào trong tập N mà S ( n ) = 0( 4 ) Phép cộng trong tập N được màn biểu diễn như sau :a + 0 = aa + S ( b ) = S ( a + b )Nếu như coi S ( 0 ) = 1 và S ( 1 ) = 2. Chúng ta sẽ cần phải chứng tỏ : S ( 0 ) + S ( 0 ) = S ( 1 )Ta có :Từ ( 4 ) :S ( 0 ) + S ( 0 ) = S ( S ( 0 ) + 0 ) ( 5 )S ( 0 ) + 0 = S ( 0 ) ( 6 )Từ ( 1 ) và ( 5 ) :S ( S ( 0 ) + 0 ) = S ( S ( 0 ) ) ( 7 )Từ ( 5 ) và ( 7 ) :S ( 0 ) + S ( 0 ) = S ( S ( 0 ) ) hay 1 + 1 = 2 ( điều phải chứng tỏ )

TẠI SAO CÁI ĐỐNG NÀY LẠI QUAN TRỌNG?

” Mathematics is a game played according to certain simple rules with meaningless marks on paper. ” – David Hilbert

Tạm dịch:

” Toán học là một game show dựa theo những luật lệ nhất định cùng những ký hiệu không có ý nghĩa trên giấy. ” – David Hilbert

Việc chứng minh “1 + 1 = 2” như đã trình bày là các bước hoàn chỉnh để xây dựng một hệ thống logic bằng ngôn ngữ Toán học có ý nghĩa. Việc này rất quan trọng bởi chúng biến các quan sát tự nhiên của con người (các số tự nhiên) thành một hệ thống mà ở đó chỉ có logic thuần túy làm chủ và hoàn toàn khách quan (hệ tiên đề peano). Sự khách quan này tạo ra một hệ thống hình thức (formal system) mà ở đó:

1. Người ta có những luật lệ để dựa vào đó tạo ra những hiệu quả khác nhau2. Người ta hoàn toàn có thể kiểm định khách quan những tác dụng đấy

Và hệ thống hình thức đó có những yếu tố để đảm bảo cho hai điều trên, đấy là: 

1. Một tập hợp hữu hạn những ký hiệu, hay là hệ chữ alphabet, để tạo ra công thức, nên công thức là một chuỗi hữu hạn những ký hiệu từ bảng vần âm alphabet .2. Một loại ngữ pháp gồm có quy tắc để tạo ra công thức dựa vào những công thức đơn thuần hơn. Một công thức dạng chuẩn ( well-formed ) là một công thức hình thành từ việc sử dụng quy tắc của ngữ pháp hình thức ( formal grammar ). Sẽ có một quy trình kiểm định để bảo vệ một công thức là chuẩn hay không .3. Một tập hợp những tiên đề, hoặc hệ tiên đề, gồm có những công thức dạng chuẩn .4. Một tập hợp những quy tắc suy luận. Một công thức dạng chuẩn hoàn toàn có thể được suy luận từ những tiên đề được coi là định lý trong một mạng lưới hệ thống hình thức .

Khi nhìn vào đây, thì chúng ta hiểu rằng, kết quả của một nghiên cứu Toán học nói riêng và nghiên cứu Khoa học nói chung không đơn giản chỉ là kết quả. Kết quả rất quan trọng, nhưng quá trình xây dựng các hệ thống để chứng minh và kiểm định những thứ dẫn đến kết quả đấy cũng quan trọng không kém, bởi chúng cho ta biết được phương pháp luận của một nghiên cứu Toán học nói riêng và Khoa học nói chung. 

Không phải tự nhiên mà Toán học là xương sống của khoa học tự nhiên, vì Toán học là nơi mà ở đó, sự đúng sai mang tính chính xác rất cao (đôi khi là tuyệt đối) nhưng cũng đồng thời cho phép sự sáng tạo, nếu như sự sáng tạo đó tuân theo các quy tắc của một hệ thống hình thức. Sự sáng tạo trong Toán học luôn luôn là sự sáng tạo có ý nghĩa, vì cho dù thế nào đi chăng nữa, người ta sẽ luôn tìm được cách để đối chiếu và kiểm chứng sự sáng tạo đó, chứ không phải muốn làm gì thì làm. Tính chất “thuần khiết” (pure) của Toán học cũng vì thế mà phản ánh sự khách quan tách rời khỏi ngôn ngữ tự nhiên và cần phải được bảo tồn, bởi chúng khiến cho việc phát triển Toán học luôn được diễn ra theo những quy tắc sinh ra Toán học. 

Và tất cả chúng ta trọn vẹn hoàn toàn có thể sử dụng một phần phương pháp tâm lý như vậy trong quy trình tư duy của tất cả chúng ta. Theo tôi, có một sự độc lạ lớn giữa người làm Toán và người học Toán. Định nghĩa về người làm Toán của tôi là những người sử dụng giải thuật để đưa ra tác dụng và chứng tỏ, còn người học Toán là những người còn nghiên cứu và điều tra cả về nguồn gốc và những yếu tố trừu tượng trong Toán học nữa. Chúng ta thường học Toán theo phương pháp của người làm Toán, tức là chỉ học giải thuật mà không học thực chất của giải thuật ( mạng lưới hệ thống hình thức ), thế nên tất cả chúng ta cảm thấy Toán học cứng ngắc và không dễ chịu, không có sự phát minh sáng tạo. Nếu như thực sự học Toán theo phương pháp của một người học Toán, thì tất cả chúng ta sẽ luôn hoàn toàn có thể đặt ra những câu hỏi có ý nghĩa kể cả so với một yếu tố tưởng chừng như đơn thuần nhất. Tư duy Toán học ở mức độ trừu tượng không chỉ đơn thuần là giải thuật, mà là :- Phát hiện được những tác nhân cơ bản- Đưa ra được quy tắc tương tác của những tác nhân cơ bản đấy- Xây dựng một mạng lưới hệ thống suy luận dựa vào những tương tác của những tác nhân cơ bản

Và để trả lời cho câu hỏi “Tại sao lại cần học Toán” thì điều này không chỉ hữu dụng trong Toán học, mà còn hữu dụng cả trong đời sống hàng ngày nữa. Sự thiếu khách quan trong cách đánh giá của một con người thường là do họ không hiểu được sự vận hành về mặt bản chất của một sự vật hiện tượng, và họ hoàn toàn không tò mò về việc đấy. Trong khi đó sự vận hành về mặt bản chất lại đòi hỏi việc phải mày mò, tìm tòi về cách thức xây dựng nên sự vật hiện tượng đó, chỉ không chỉ đơn thuần mà kết quả của chúng đem lại cho chúng ta. Và kể cả khi chúng ta tìm ra được, thì còn phải thử nghiệm, kiểm chứng để xem những thứ chúng ta suy nghĩ có đúng hay không nữa. Cách thức suy nghĩ có hệ thống như vậy, không chỉ giúp chúng ta có thể giải quyết được vấn đề ở mức độ bản chất (không hoàn toàn vì những sự vật, hiện tượng trong xã hội đôi khi có quá nhiều yếu tố ảnh hưởng) mà còn có thể cho phép chúng ta tái tạo lại phương pháp luận của cách thức giải quyết đấy, từ đó sử dụng chúng như một con đường để đào tạo những người mà chúng ta cảm thấy phù hợp. 

Cách tư duy theo hệ thống khách quan cũng rất quan trọng trong việc xây dựng tư duy độc lập, vốn là một thứ ngày càng khuyết thiếu trong xã hội mà con người tiếp thu thông tin nhiều hơn kiến thức và coi trọng kết quả hơn quá trình. Nhưng đây là một câu chuyện dài khác, tôi xin đề cập trong bài viết tháng sau. 

LỜI CẢM ƠN

Đây là một bài viết mà tôi định viết từ lâu nhưng nháp đi nháp lại không hoàn thành. Cho đến khi tôi đọc bài viết này của Gwens

Mặc dù tôi vẫn là một người học và sử dụng Toán, nhưng vì những nguyên do về thực trạng và quỹ thời hạn mà thường phải đi tắt, mà sự đi tắt đấy đôi lúc nguy hại vì nếu đi tắt quá nhiều, đến một lúc tôi sẽ không có năng lực tự kiểm nghiệm những hiệu quả mình tạo ra nữa mà chỉ hoàn toàn có thể đi theo người khác. Đoạn sau của bài viết trên là thứ khiến cho tôi không chỉ phải nhìn lại quy trình đấy mà còn là tác nhân thôi thúc tôi triển khai xong bài viết này :Nhưng với người làm Toán chuyên nghiệp, mọi thứ không còn lý tưởng như vậy :Theo Buzzard, chứng tỏ có lúc chỉ là thứ được gật đầu bởi “ những bô lão ” aka tạp chí uy tín số 1 như Annals of Mathematics. Và thật sự uy tín như Annals of Mathematics, thì vẫn có lúc xuất bản những tác dụng trái ngược nhau – aka tối thiểu một bị sai – mà không hề đính chính .Buzzard liệt kê tiếp những “ vật chứng ” về những lỗ hổng Toán học bị lờ đi, như thể sống sót những open secrets ngầm hiểu giữa những chuyên viên Toán lâu năm và che đi với người mở màn làm Toán .Ông tự hỏi : Liệu tất cả chúng ta có cần thuộc về nhóm chuyên viên trên để biết điều gì nên tin trong Toán ? Nếu Toán học không hề kiểm nghiệm khách quan, nó còn là khoa học ?Buzzard nhắc đến một hiệu quả ông từng xuất bản. Ông nói : Tôi tin với Xác Suất 99.9 % là tác dụng này sẽ chẳng khi nào được con người dùng trong bất kỳ mục đích nào hữu dụng. Điều duy nhất khiến tôi theo đuổi nó là vẻ đẹp của thực sự. Nhưng nếu giờ niềm tin đó cũng lung lay, chẳng phải hàng loạt việc ấy là vô ích hay sao ?Đến đây Buzzard thú nhận :Gã Szegegy ấy, có lẽ rằng còn chưa điên .Bởi vì :1. Toán học không còn lý tưởng như cách nó được ra mắt với những người bước vào làm Toán .2. Nếu muốn trung thực về khoa học, cần một quy trình tiến độ khác và những giải pháp kiểm tra khác .3. Các công cụ chứng tỏ hình thức tương hỗ điều ấy .

4. And as such, make mathematics pure again.

Cho nên, phần đầu chủ yếu là để giải thích, Tại sao hệ thống hình thức lại quan trọng như vậy trong Toán học thông qua câu chuyện 1 + 1 = 2.

Người thứ hai tôi muốn dành lời cảm ơn là thằng bạn nối khố của tôi, Tiến sỹ Toán thống kê ứng dụng Hoàng Hồng Quân, chính do ngoài việc tôi nhờ nó đọc kiểm lại bài này ( mặc dầu đến giờ đọc vẫn chưa xong nhưng tôi vẫn cứ đăng trước, đính chính sau để tranh thủ bú fame ) để không bị hớ do lâu không đụng đến kim chỉ nan Toán thuần túy thì nó còn là một trong những người luôn cho tôi thấy được sự ” thuần khiết ” của Toán học trải qua cách xử lý yếu tố tương quan đến Toán cũng như niềm thương mến với Toán .

Tài liệu tham khảo:

Source: https://dvn.com.vn
Category: Hỏi Đáp