e (số) – Wikipedia tiếng Việt

y = 1/x

. e là số duy nhất lớn hơn 1 sao cho diện tích phần được tô màu bằng 1.Đồ thị của hàm sốlà số duy nhất lớn hơn 1 sao cho diện tích quy hoạnh phần được tô màu bằng 1 .

Số e là một hằng số toán học có giá trị gần bằng 2,71828 và có thể được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau. Nó là cơ số của logarit tự nhiên, là số duy nhất sao cho logarit tự nhiên của nó bằng 1,[1] và đồng thời là giới hạn của (1 + 1/n)n khi n tiến về vô hạn, một biểu thức nảy sinh từ việc nghiên cứu lãi kép. Nó cũng bằng tổng của chuỗi vô hạn

e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 1 + 1 1 + 1 1 ⋅ 2 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + ⋯ { \ displaystyle e = \ sum \ limits _ { n = 0 } ^ { \ infty } { \ frac { 1 } { n ! } } = { \ frac { 1 } { 1 } } + { \ frac { 1 } { 1 } } + { \ frac { 1 } { 1 \ cdot 2 } } + { \ frac { 1 } { 1 \ cdot 2 \ cdot 3 } } + \ cdots }{\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }

e cũng được định nghĩa là số dương a duy nhất sao cho đồ thị của hàm y = ax có hệ số góc bằng 1 tại x = 0.

Hàm mũ (tự nhiên) f(x) = ex là hàm số duy nhất có đạo hàm bằng chính nó và có giá trị ban đầu là f(0) = 1, và dễ thấy e = f(1). Logarit tự nhiên, hay logarit cơ số e, là hàm ngược của hàm mũ tự nhiên. Logarit tự nhiên của một số k > 1 được định nghĩa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm y = 1/x từ x = 1 đến x = k, khi đó e là giá trị của k sao cho diện tích đó bằng 1 (xem hình). e còn có nhiều cách biểu diễn khác.

e thỉnh thoảng còn được gọi là số Euler theo tên của nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler (không nên nhầm lẫn với hằng số Euler–Mascheroni γ, còn được gọi tắt là hằng số Euler), hoặc hằng số Napier. Tuy nhiên, ký hiệu e của Euler được cho là đã được giữ lại để vinh danh ông.[2] Hằng số này được tìm ra bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli khi nghiên cứu về lãi kép.[3][4]

Số e có tầm quan trọng lớn trong toán học cùng với số 0, 1, π và i. Cả năm số này đều đóng vai trò không hề thiếu trong toán học và cùng Open trong một phương trình của đồng nhất thức Euler. Giống như hằng số π, e là một số vô tỉ ( không hề màn biểu diễn thành tỉ số giữa hai số nguyên ) và là số siêu việt ( không phải là nghiệm của một phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ ). Giá trị của e đến 50 chữ số thập phân là :

2,71828182845904523536028747135266249775724709369995 …

(dãy số A001113( dãy sốtrong bảng OEIS ) .
Hằng số e được liên hệ lần tiên phong vào năm 1618 ở bảng phụ lục trong khu công trình của John Napier về logarit, nhưng lại không nhắc đến trực tiếp về e mà chỉ liệt kê list những logarit được tính từ nó. [ 4 ] Bảng này được thừa nhận là do William Oughtred viết ra. Jacob Bernoulli đã tìm ra chính hằng số e vào năm 1683 khi tìm giá trị của biểu thức [ 5 ] [ 6 ]

lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n. { \ displaystyle \ lim _ { n \ to \ infty } \ left ( 1 + { \ frac { 1 } { n } } \ right ) ^ { n }. }{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}

Hằng số này được sử dụng lần đầu tiên với ký hiệu là b trong bức thư của Gottfried Leibniz gửi Christiaan Huygens vào năm 1690 và 1691.[7] Leonhard Euler trong thư gửi Christian Goldbach vào ngày 25 tháng 11 năm 1731 đã gọi chữ cái e là cơ số của logarit tự nhiên.[8][9] Euler bắt đầu sử dụng chữ e để ký hiệu cho hằng số vào khoảng 1727 hoặc 1728 trong một bài báo không được xuất bản về sức nổ của súng thần công, và e chỉ xuất hiện trong xuất bản phẩm lần đầu vào năm 1736 trong cuốn Mechanica của ông.[10][11] Dù một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ c trong những năm sau đó,[12][13] nhưng chữ e dần trở thành tiêu chuẩn về sau này.

Trong toán học, cách phổ cập nhất là viết hằng số thành chữ ” e ” in nghiêng, nhưng tiêu chuẩn ISO 80000 – 2 khuyến nghị sắp chữ những hằng số theo kiểu thẳng đứng như những vần âm thường thì. [ 14 ]
Kết quả khi nhận lãi suất vay 20 % mỗi năm trên khoản góp vốn đầu tư 1.000 đô la theo nhiều chu kỳ luân hồi tính lãi khác nhauJacob Bernoulli tìm ra hằng số e vào năm 1683 khi nghiên cứu và điều tra một bài toán về lãi kép : [ 4 ]

Một thông tin tài khoản có số dư 1 đô la và nhận 100 % lãi suất vay mỗi năm. Nếu lãi suất vay được tính một lần thì đến cuối năm, số dư của thông tin tài khoản đó là 2 đô la. Điều gì sẽ xảy ra khi lãi suất vay được tính và giao dịch thanh toán liên tục hơn trong năm ?

Nếu lãi được tính hai lần trong năm thì lãi suất cho mỗi 6 tháng sẽ là 50%, do đó 1 đô la ban đầu được nhân hai lần cho 1,5 để có 1,00 × 1,52 = 2,25 đô la vào cuối năm. Khi tính lãi theo quý thì ta có 1,00 × 1,254 = 2,4414… đô la, còn tính lãi theo tháng được 1,00 × (1 + 1/12)12 = 2,613035… đô la. Nếu có n khoảng thời gian tính lãi thì lãi suất trên mỗi khoảng là 100%/n và số dư vào cuối năm là 1,00 × (1 + 1/n)n.

Bernoulli nhận thấy chuỗi này tiến dần về một giới hạn với n càng lớn và khoảng thời gian tính lãi càng nhỏ. Tính lãi theo tuần (n = 52) được 2,692597… đô la, còn tính lãi theo ngày (n = 365) thì được 2,714567… đô la, chỉ nhiều hơn hai xu. Giới hạn khi n tăng lên chính là số e; khi tính lãi liên tục thì số dư của tài khoản tiệm cận đến 2,7182818… đô la.

Tổng quát hơn, một tài khoản có số dư ban đầu là 1 đô la và nhận lãi suất hằng năm là R thì sau t năm sẽ nhận được eRt đô la khi tính lãi liên tục.[15] (Ở đây R là một số thực bằng với lãi suất phần trăm hằng năm, do đó với lãi suất 5% thì R = 5/100 = 0,05.)

Phép thử Bernoulli[sửa|sửa mã nguồn]

P để một biến cố độc lập với xác suất xảy ra là 1/n không xảy ra sau n phép thử Bernoulli và so sánh 1 − P và n. Có thể thấy khi n tăng thì xác suất để một biến cố với xác suất xảy ra 1/n không xảy ra sau n lần thử tiệm cận rất nhanh về 1/e.Biểu đồ xác suấtđể một biến cố độc lập với Tỷ Lệ xảy ra là 1 / không xảy ra sauphép thử Bernoulli và so sánh 1 − và. Có thể thấy khităng thì Xác Suất để một biến cố với Xác Suất xảy ra 1 / không xảy ra saulần thử tiệm cận rất nhanh về 1 /

Số e cũng có ứng dụng trong lý thuyết xác suất, nảy sinh từ một vấn đề không liên quan rõ ràng với lũy thừa. Giả sử một người chơi một máy đánh bạc n lần và xác suất để thắng là một phần n. Với n lớn (chẳng hạn như một triệu) thì xác suất để người đó thua mọi lần gần bằng 1/e. Với n = 20 thì tỉ số này đã gần bằng 1/2,79.

Đó là một ví dụ về phép thử Bernoulli. Mỗi lần người đó chơi máy thì xác suất để thắng là một trên một triệu. Một triệu lần chơi như thế được mô hình hóa bằng phân phối nhị thức, vốn có liên hệ mật thiết với định lý nhị thức và tam giác Pascal. Xác suất để thắng k lần trên một triệu lần chơi là

( 10 6 k ) ( 10 − 6 ) k ( 1 − 10 − 6 ) 10 6 − k. { \ displaystyle { \ binom { 10 ^ { 6 } } { k } } \ left ( 10 ^ { – 6 } \ right ) ^ { k } \ left ( 1-10 ^ { – 6 } \ right ) ^ { 10 ^ { 6 } – k }. }{\displaystyle {\binom {10^{6}}{k}}\left(10^{-6}\right)^{k}\left(1-10^{-6}\right)^{10^{6}-k}.}

Đặc biệt, xác suất để người đó không thắng lần nào (k = 0) là

( 1 − 1 10 6 ) 10 6, { \ displaystyle \ left ( 1 – { \ frac { 1 } { 10 ^ { 6 } } } \ right ) ^ { 10 ^ { 6 } }, }{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{10^{6}}}\right)^{10^{6}},}

rất gần với số lượng giới hạn

lim n → ∞ ( 1 − 1 n ) n = 1 e. { \ displaystyle \ lim _ { n \ to \ infty } \ left ( 1 – { \ frac { 1 } { n } } \ right ) ^ { n } = { \ frac { 1 } { e } }. }
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}.}

Phân phối chuẩn tắc[sửa|sửa mã nguồn]

Phân phối chuẩn với trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1 được gọi là phân phối chuẩn tắc và được cho bởi hàm mật độ xác suất[16]

ϕ ( x ) = 1 2 π e − 1 2 x 2. { \ displaystyle \ phi ( x ) = { \ frac { 1 } { \ sqrt { 2 \ pi } } } e ^ { – { \ frac { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } }. }{\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}

Điều kiện phương sai bằng 1 (độ lệch chuẩn bằng 1) dẫn đến phân số 1/2 trong số mũ, và điều kiện tổng diện tích dưới đường cong ϕ(x) bằng 1 dẫn đến tỷ số

1

/

2
π

{\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}

{\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}. Hàm số này đối xứng quanh x = 0, tại đó nó đạt giá trị lớn nhất

1

/

2
π

{\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}

, và có các điểm uốn tại x = ±1.

Hoán vị vô trật tự[sửa|sửa mã nguồn]

Một ứng dụng khác của e, vốn do Jacob Bernoulli và Pierre Raymond de Montmort tìm ra, nằm trong bài toán về hoán vị vô trật tự hay còn gọi là bài toán trả mũ.[17] Có n vị khách được mời đến một bữa tiệc và đều phải trả mũ của họ cho quản gia. Quản gia sẽ đặt số mũ này vào n hộp, mỗi hộp được ghi tên của một vị khách duy nhất. Nhưng quản gia lại không hỏi trước tên của các vị khách nên việc xếp mũ vào hộp được thực hiện một cách ngẫu nhiên. Bài toán của de Montmort là tìm xác suất để không có chiếc mũ nào được đặt đúng vào hộp của vị khách đó. Câu trả lời là

p n = 1 − 1 1 ! + 1 2 ! − 1 3 ! + ⋯ + ( − 1 ) n n ! = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k k !. { \ displaystyle p_ { n } = 1 – { \ frac { 1 } { 1 ! } } + { \ frac { 1 } { 2 ! } } – { \ frac { 1 } { 3 ! } } + \ cdots + { \ frac { ( – 1 ) ^ { n } } { n ! } } = \ sum _ { k = 0 } ^ { n } { \ frac { ( – 1 ) ^ { k } } { k ! } }. }{\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}

Khi số vị khách n tiến đến vô hạn thì pn tiệm cận về 1/e. Hơn nữa, số cách xếp mũ vào hộp để biến cố trên xảy ra là n!/e (làm tròn đến hàng đơn vị) với n là số dương.[18]

Bài toán kế hoạch tối ưu[sửa|sửa mã nguồn]

Một gậy chiều dài L bị vỡ thành n mảnh có độ dài bằng nhau. Giá trị của n để tích những độ dài này lớn nhất là [ 19 ]

n = ⌊ L e ⌋ { \ displaystyle n = \ left \ lfloor { \ frac { L } { e } } \ right \ rfloor }{\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor }n = ⌊ L e ⌋ + 1, { \ displaystyle n = \ left \ lfloor { \ frac { L } { e } } \ right \ rfloor + 1, }{\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor +1,}

vì

x

−
1

ln
⁡
x

{\displaystyle x^{-1}\ln x}

{\displaystyle x^{-1}\ln x} đạt giá trị lớn nhất tại

x
=
e

{\displaystyle x=e}

{\displaystyle x=e} (bài toán Steiner, xem dưới đây). Đại lượng

x

−
1

ln
⁡
x

{\displaystyle x^{-1}\ln x}

là một độ đo lượng thông tin thu được từ một biến cố xảy ra với xác suất

1

/

x

{\displaystyle 1/x}

{\displaystyle 1/x}, do đó phép chia tối ưu trên xuất hiện trong các bài toán kế hoạch tối ưu, chẳng hạn như bài toán thư ký.

Số e Open khi liên hệ với nhiều bài toán tương quan đến tiệm cận. Một ví dụ là công thức Stirling về tiệm cận của hàm giai thừa có sự Open của cả hai số e và π : [ 20 ]

n ! ∼ 2 π n ( n e ) n. { \ displaystyle n ! \ sim { \ sqrt { 2 \ pi n } } \ left ( { \ frac { n } { e } } \ right ) ^ { n }. }{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}

Từ đó

e = lim n → ∞ n n ! n. { \ displaystyle e = \ lim _ { n \ to \ infty } { \ frac { n } { \ sqrt [ { n } ] { n ! } } }. }{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}

Trong vi tích phân[sửa|sửa mã nguồn]

x ↦ ax

với

a = 2

(đường kẻ chấm),

a = e

(đường màu xanh) và

a = 4

(đường nét đứt). Chúng đều đi qua điểm ( 0,1 ), nhưng đường màu đỏ (hệ số góc là 1) chỉ là tiếp tuyến của hàm

ex

tại đó.Đồ thị của hàmvới ( đường kẻ chấm ), ( đường màu xanh ) và ( đường nét đứt ). Chúng đều đi qua điểm, nhưng đường màu đỏ ( thông số góc là ) chỉ là tiếp tuyến của hàmtại đó . e hay

ln(e)

bằng 1 .Logarit tự nhiên của sốhaybằng

Cơ sở chủ yếu cho sự ra đời của số e, đặc biệt trong vi tích phân là từ các phép tính vi phân và tích phân với các hàm mũ và logarit.[21] Tổng quát, hàm mũ y = ax có đạo hàm được cho bởi giới hạn:

d d x a x = lim h → 0 a x + h − a x h = lim h → 0 a x a h − a x h = a x ⋅ ( lim h → 0 a h − 1 h ). { \ displaystyle { \ begin { aligned } { \ frac { d } { dx } } a ^ { x } và = \ lim _ { h \ to 0 } { \ frac { a ^ { x + h } – a ^ { x } } { h } } = \ lim _ { h \ to 0 } { \ frac { a ^ { x } a ^ { h } – a ^ { x } } { h } } \ \ và = a ^ { x } \ cdot \ left ( \ lim _ { h \ to 0 } { \ frac { a ^ { h } – 1 } { h } } \ right ). \ end { aligned } } }{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}

Giới hạn trong ngoặc ở vế phải độc lập với biến x và chỉ phụ thuộc vào cơ số a. Khi cơ số đó bằng e thì giới hạn trên bằng 1 nên e được định nghĩa tượng trưng bởi phương trình:

d d x e x = e x. { \ displaystyle { \ frac { d } { dx } } e ^ { x } = e ^ { x }. }{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.

Do đó, hàm mũ cơ số e rất tương thích cho việc tính vi tích phân, vì nó giúp đơn giản hóa nhiều phép tính tương quan đến đạo hàm .

Một cách tiếp cận khác đến từ việc tính đạo hàm của logarit cơ số a (loga x) với x > 0:[22]

d d x log a ⁡ x = lim h → 0 log a ⁡ ( x + h ) − log a ⁡ ( x ) h = lim h → 0 log a ⁡ ( 1 + h / x ) x ⋅ h / x = 1 x log a ⁡ ( lim u → 0 ( 1 + u ) 1 u ) = 1 x log a ⁡ e, { \ displaystyle { \ begin { aligned } { \ frac { d } { dx } } \ log _ { a } x và = \ lim _ { h \ to 0 } { \ frac { \ log _ { a } ( x + h ) – \ log _ { a } ( x ) } { h } } \ \ và = \ lim _ { h \ to 0 } { \ frac { \ log _ { a } ( 1 + h / x ) } { x \ cdot h / x } } \ \ và = { \ frac { 1 } { x } } \ log _ { a } \ left ( \ lim _ { u \ to 0 } ( 1 + u ) ^ { \ frac { 1 } { u } } \ right ) \ \ và = { \ frac { 1 } { x } } \ log _ { a } e, \ end { aligned } } }{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}

trong đó đặt u = h/x. Logarit cơ số a của e bằng 1 nếu a bằng e, do đó

d d x log e ⁡ x = 1 x. { \ displaystyle { \ frac { d } { dx } } \ log _ { e } x = { \ frac { 1 } { x } }. }{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}

Logarit với cơ số đặc biệt quan trọng này được gọi là logarit tự nhiên và được ký hiệu là ln, giúp đơn giản hóa phép vi phân do không cần tìm những số lượng giới hạn chưa biết .

Như vậy, có hai cách để tìm một số a đặc biệt như thế. Cách thứ nhất là cho đạo hàm của hàm mũ ax bằng với ax rồi giải phương trình để tìm a. Cách thứ hai là cho đạo hàm của logarit cơ số a bằng 1/x và giải tương tự. Cả hai nghiệm a thu được thực chất là giống nhau và bằng số e.

Các cách trình diễn khác[sửa|sửa mã nguồn]

x y = 1 { \ displaystyle xy = 1 }{\displaystyle xy=1}Cả năm vùng được tô màu đều có diện tích quy hoạnh bằng nhau và xác lập đơn vị chức năng của góc hyperbol dọc theo hyperbolCó nhiều cách màn biểu diễn số e : số lượng giới hạn của một dãy, tổng của một chuỗi vô hạn hay những biểu thức tương quan đến giải tích tích phân. Trên đây, ta đã biết được hai đặc thù :

  1. e là số thực dương duy nhất sao cho d d t e t = e t { \ displaystyle { \ frac { d } { dt } } e ^ { t } = e ^ { t } }{\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}}

  2. e

    là số thực dương duy nhất sao cho d d t log e ⁡ t = 1 t { \ displaystyle { \ frac { d } { dt } } \ log _ { e } t = { \ frac { 1 } { t } } }{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\log _{e}t={\frac {1}{t}}}

Bốn cách trình diễn sau cũng được chứng tỏ là tương tự như như trên :

Vi tích phân[sửa|sửa mã nguồn]

Hàm mũ ex rất quan trọng một phần do đây là hàm số duy nhất có đạo hàm bằng chính nó:

d d x e x = e x { \ displaystyle { \ frac { d } { dx } } e ^ { x } = e ^ { x } }{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}

và do đó cũng có nguyên hàm bằng chính nó :

∫ e x d x = e x + C. { \ displaystyle \ int e ^ { x } \, dx = e ^ { x } + C. }{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C.}

Bất đẳng thức[sửa|sửa mã nguồn]

y = 2 x { \ displaystyle y = 2 ^ { x } }{\displaystyle y=2^{x}}y = 4 x { \ displaystyle y = 4 ^ { x } }{\displaystyle y=4^{x}}y = x + 1 { \ displaystyle y = x + 1 }{\displaystyle y=x+1}x = 1 { \ displaystyle x = 1 }{\displaystyle x=1}x = − 1 / 2 { \ displaystyle x = – 1/2 }{\displaystyle x=-1/2}e { \ displaystyle e }{\displaystyle e}y = e x { \ displaystyle y = e ^ { x } }{\displaystyle y=e^{x}}x = 0 { \ displaystyle x = 0 }{\displaystyle x=0}e { \ displaystyle e }Đồ thị của hàm mũvàcắt đường thẳnglần lượt tạivà. Sốlà cơ số duy nhất của hàm mũ sao cho đồ thịcắt đường thẳng tại giao điểm duy nhất. Dễ thấy rằng giá trị củanằm giữa 2 và 4 .e là số thực duy nhất sao cho

(

1
+

1
x

)

x

< e < ( 1 + 1 x ) x + 1 {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}

với mọi số dương x.[24]

Đồng thời, ta cũng có bất đẳng thức

e x ≥ x + 1 { \ displaystyle e ^ { x } \ geq x + 1 }{\displaystyle e^{x}\geq x+1}

với mọi số thực x, và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Hơn nữa, e là cơ số duy nhất của hàm mũ để bất đẳng thức ax ≥ x + 1 đúng với mọi x.[25] Đó là một trường hợp giới hạn của bất đẳng thức Bernoulli.

Hàm tựa mũ[sửa|sửa mã nguồn]

x x { \ displaystyle { \ sqrt [ { x } ] { x } } }{\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}

x = e

.Giá trị lớn nhất củađạt được tạiBài toán Steiner nhu yếu tìm giá trị lớn nhất của hàm số

f ( x ) = x 1 x. { \ displaystyle f ( x ) = x ^ { \ frac { 1 } { x } }. }{\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}

Giá trị lớn nhất này đạt được tại x = e. Để chứng minh, từ bất đẳng thức

e

y

≥
y
+
1

{\displaystyle e^{y}\geq y+1}

{\displaystyle e^{y}\geq y+1} ở trên, đặt

y
=
(
x
−
e
)

/

e

{\displaystyle y=(x-e)/e}

{\displaystyle y=(x-e)/e} rồi rút gọn thì ta có

e

x

/

e

≥
x

{\displaystyle e^{x/e}\geq x}

{\displaystyle e^{x/e}\geq x}. Do đó

e

1

/

e

≥

x

1

/

x

{\displaystyle e^{1/e}\geq x^{1/x}}

{\displaystyle e^{1/e}\geq x^{1/x}} với mọi số dương x.[26]

Tương tự, x = 1/e là điểm để hàm số

f ( x ) = x x { \ displaystyle f ( x ) = x ^ { x } }{\displaystyle f(x)=x^{x}}

đạt giá trị nhỏ nhất với x là số dương. Tổng quát hơn, hàm số

f ( x ) = x x n { \ displaystyle f ( x ) = x ^ { x ^ { n } } }{\displaystyle f(x)=x^{x^{n}}}

với x là số dương đạt giá trị lớn nhất tại x = 1/e khi n < 0 và đạt giá trị nhỏ nhất tại x = e−1/n khi n > 0.

Tetration vô hạn

x x x ⋅ ⋅ ⋅ { \ displaystyle x ^ { x ^ { x ^ { \ cdot ^ { \ cdot ^ { \ cdot } } } } } }{\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}∞ x { \ displaystyle { ^ { \ infty } } x }{\displaystyle {^{\infty }}x}

hội tụ khi và chỉ khi e−e ≤ x ≤ e1/e (hay x nằm giữa 0,0660 và 1,4447) theo một định lý của Leonhard Euler.[27]

Lý thuyết số[sửa|sửa mã nguồn]

Số thực e là một số ít vô tỉ. Euler chứng tỏ được điều này bằng cách cho thấy liên phân số của nó hoàn toàn có thể được lan rộng ra ra vô hạn. [ 28 ] [ 29 ] [ a ] Hơn nữa, theo định lý Lindemann – Weierstrass, e là một số siêu việt, có nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất kể phương trình đa thức khác không với thông số hữu tỉ. Charles Hermite chứng tỏ được điều này vào năm 1873. [ 30 ]

Có phỏng đoán cho rằng e là số bình thường, có nghĩa là khi e được biểu diễn trên bất kỳ hệ đếm cơ số nào thì các chữ số trong hệ đếm đó được phân bố đồng đều nhau (xuất hiện với xác suất bằng nhau trong bất kỳ chuỗi nào với độ dài cho trước).[31]

Hàm mũ ex có thể được viết thành chuỗi Taylor:[32]

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! { \ displaystyle e ^ { x } = 1 + { x \ over 1 ! } + { x ^ { 2 } \ over 2 ! } + { x ^ { 3 } \ over 3 ! } + \ cdots = \ sum _ { n = 0 } ^ { \ infty } { \ frac { x ^ { n } } { n ! } } }{\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

Vì chuỗi trên hội tụ với bất kỳ giá trị phức nào của x nên nó có thể được dùng để mở rộng khái niệm ex cho số phức. Cùng với chuỗi Taylor cho sin x và cos x, ta suy ra được công thức Euler đúng với mọi số phức x:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x. { \ displaystyle e ^ { ix } = \ cos x + i \ sin x. }{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}

Trường hợp đặc biệt với x = π là đồng nhất thức Euler:

e i π + 1 = 0, { \ displaystyle e ^ { i \ pi } + 1 = 0, }{\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}

từ đó suy ra, trong nhánh hầu hết của logarit ,

ln ⁡ ( − 1 ) = i π. { \ displaystyle \ ln ( – 1 ) = i \ pi. }{\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}

Hơn nữa, vận dụng những công thức lũy thừa ,

( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = ( e i x ) n = e i n x = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ), { \ displaystyle ( \ cos x + i \ sin x ) ^ { n } = \ left ( e ^ { ix } \ right ) ^ { n } = e ^ { inx } = \ cos ( nx ) + i \ sin ( nx ), }{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),}

đó chính là công thức de Moivre .Biểu thức

cos ⁡ x + i sin ⁡ x { \ displaystyle \ cos x + i \ sin x }{\displaystyle \cos x+i\sin x}

còn được ký hiệu là cis(x).[33]

Ta cũng suy ra được các biểu thức biểu diễn

sin
⁡
x

{\displaystyle \sin x}

{\displaystyle \sin x} và

cos
⁡
x

{\displaystyle \cos x}

{\displaystyle \cos x} theo các hàm mũ:

sin ⁡ x = e i x − e − i x 2 i, cos ⁡ x = e i x + e − i x 2. { \ displaystyle \ sin x = { \ frac { e ^ { ix } – e ^ { – ix } } { 2 i } }, \ qquad \ cos x = { \ frac { e ^ { ix } + e ^ { – ix } } { 2 } }. }{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}

Phương trình vi phân[sửa|sửa mã nguồn]

Họ những hàm số

y ( x ) = C e x, { \ displaystyle y ( x ) = Ce ^ { x }, }{\displaystyle y(x)=Ce^{x},}

với C là số thực, là nghiệm của phương trình vi phân

y ′ = y. { \ displaystyle y ‘ = y. }{\displaystyle y'=y.}

Số e có thể được biểu diễn thành một số thực theo nhiều cách khác nhau: là một chuỗi vô hạn, một tích vô hạn, một liên phân số hay giới hạn của một dãy. Trong số đó, thông dụng nhất là giới hạn

lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n { \ displaystyle \ lim _ { n \ to \ infty } \ left ( 1 + { \ frac { 1 } { n } } \ right ) ^ { n } }{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}

đã cho ở trên, và chuỗi

e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! { \ displaystyle e = \ sum _ { n = 0 } ^ { \ infty } { \ frac { 1 } { n ! } } }{\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}

có được bằng cách thay x = 1 vào chuỗi lũy thừa cho hàm mũ ex ở trên.

Một dạng khác ít phổ cập hơn là liên phân số [ 34 ]

e = [ 2 ; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1 ,. .., 1, 2 n, 1 ,. .. ] { \ displaystyle e = [ 2 ; 1,2,1,1,4,1,1,6,1, …, 1,2 n, 1, … ] }{\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...]}A003417OEIS)

hoặc được viết thành

e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + ⋱. { \ displaystyle e = 2 + { \ cfrac { 1 } { 1 + { \ cfrac { 1 } { 2 + { \ cfrac { 1 } { 1 + { \ cfrac { 1 } { 1 + { \ cfrac { 1 } { 4 + { \ cfrac { 1 } { 1 + { \ cfrac { 1 } { 1 + \ ddots } } } } } } } } } } } } } }. }{\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}

Nhiều cách biểu diễn khác của e dưới dạng chuỗi, dãy số, liên phân số và tích vô hạn cũng đã được tìm ra và phát triển.

Biểu diễn ngẫu nhiên[sửa|sửa mã nguồn]

Cùng với các biểu thức giải tích chính xác, e còn có thể được tính gần đúng thông qua các kỹ thuật ngẫu nhiên. Một cách tiếp cận như thế bắt đầu từ một dãy vô hạn các biến độc lập ngẫu nhiên X1, X2,… trong một phân phối đều trên [0, 1]. Gọi V là số n nhỏ nhất để tổng của n biến đầu tiên như vậy lớn hơn 1:

V = min { n ∣ X 1 + X 2 + ⋯ + X n > 1 }. { \ displaystyle V = \ min \ left \ { n \ mid X_ { 1 } + X_ { 2 } + \ cdots + X_ { n } > 1 \ right \ }. }{\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229adce5af07552aa13c6bfb51e67fdb35169f34″/></span></dd> </dl> <p>Khi đó giá trị kỳ vọng của <i>V</i> là e hay E(<i>V</i>) = <i>e</i>.[35] </p> <h3><span class=Số chữ số đã biết[sửa|sửa mã nguồn]

Số chữ số đã biết của e đã ngày càng tăng đáng kể trong vài thập kỷ trở lại đây do sự tăng trưởng của máy tính và thuật toán nói chung .
Từ khoảng chừng năm 2010, với sự sinh ra của máy tính để bàn tân tiến vận tốc cao, việc đo lường và thống kê hàng nghìn tỷ chữ số của e trong một khoảng chừng thời hạn đồng ý được là trọn vẹn khả thi. Tính đến ngày 5 tháng 12 năm 2020, e đã được tính đến 31,4 nghìn tỷ chữ số thập phân. [ 45 ]

Trong văn hóa truyền thống máy tính[sửa|sửa mã nguồn]

Trong sự Open của văn hóa truyền thống Internet, nhiều tổ chức triển khai và cá thể đã đôi lúc tỏ lòng kính trọng và tôn vinh số e. Chẳng hạn, nhà khoa học máy tính Donald Knuth đã cho số phiên bản của ứng dụng Metafont của ông tiến dần về số e. Các phiên bản lần lượt là 2, 2.7, 2.71, 2.718, … [ 46 ]

Trong đợt IPO của Google năm 2004, công ty đặt mục tiêu huy động được đúng 2.718.281.828 đô la Mỹ, tức là e tỷ đô la làm tròn đến hàng đơn vị.[47] Google cũng đã từng làm một biển quảng cáo đặt tại trung tâm thung lũng Silicon và sau đó tại Cambridge, Massachusetts, Seattle, Washington và Austin, Texas, trong đó có ghi “{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com” (“{số nguyên tố có 10 chữ số đầu tiên trong dãy chữ số liên tiếp của e}.com”).[48] Khi giải được bài toán này và truy cập vào trang web đã cho thì người giải được dẫn đến một bài toán khó hơn với cơ hội được vào Google Labs để làm một bản hồ sơ lý lịch trích ngang.[49] Số nguyên tố có 10 chữ số đầu tiên trong e là 7427466391, bắt đầu từ chữ số thứ 99.[50]

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Source: https://dvn.com.vn
Category: Hỏi Đáp

Bài viết liên quan
Bài Mới Nhất
Alternate Text Gọi ngay