Nhóm Lie – Wikipedia tiếng Việt
Trong toán học, một nhóm Lie, được đặt tên theo nhà toán học người Na Uy là Sophus Lie (IPA pronunciation: [liː], đọc như là “Lee”), là một nhóm (group) cũng là một đa tạp khả vi (trơn) (differentiable manifold), với tính chất là phép toán nhóm tương thích với cấu trúc khả vi. Nhóm Lie đại diện cho
lý thuyết phát triển nhất của các đối xứng liên tục. Điều này đã làm nhóm Lie trở thành một công cụ gần như cho tất cả các ngành toán học hiện đại, và vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt là trong lý thuyết hạt cơ bản.
Vì nhóm Lie là một đa tạp khả vi, nó có thể được nghiên cứu bằng cách sử dụng giải tích vi phân (differential calculus), điều này không làm được với các nhóm topo tổng quát hơn. Một trong những ý tưởng chính trong lý thuyết về nhóm Lie, đề xuất bởi Sophus Lie, là thay thế cấu trúc toàn cục, nhóm, bằng một phiên bản mang tính địa phương của nó hay còn gọi là phiên bản đã được làm tuyến tính hóa, mà Lie gọi là một nhóm cực nhỏ. Phiên bản này bây giờ được biết đến như là đại số Lie.
Nhóm Lie đã cung ứng một phương tiện đi lại tự nhiên để nghiên cứu và phân tích những đối xứng liên tục của những phương trình vi phân ( triết lý Picard-Vessiot ), trong một phương pháp như những nhóm hoán vị ( permutation group ) được sử dụng trong kim chỉ nan Galois để nghiên cứu và phân tích những đối xứng rời rạc của những phương trình đại số .
Mục Lục
Lịch sử khởi đầu[sửa|sửa mã nguồn]
Theo Hawkins, một sử gia toán học, Sophus Lie tự cho là mùa đông năm 1873–1874 là năm khai sinh lý thuyết nhóm liên tục của ông. Một số ý tưởng ban đầu của Lie được phát triển khi hợp tác chặt chẽ với Felix Klein. Lie khẳng định rằng các kết quả chính đã được chứng minh vào năm 1884. Tuy nhiên, trong suốt những năm 1870 tất cả các bài báo của ông (ngoại trừ các bài đầu tiên) được xuất bản trong các tạp chí bằng tiếng Na Uy, đã làm chậm đi sự công nhận của các công trình của ông trên toàn bộ châu Âu. Vào năm 1884 một nhà toán học trẻ người Đức, Friedrich Engel, đến làm việc với Lie để viết nên một luận án có hệ thống về lý thuyết nhóm liên tục của ông. Từ cố gắng này đã phát sinh ra bộ sách ba tập Theorie der Transformationsgruppen (Lý thuyết của các nhóm biến đổi), xuất bản năm 1888, 1890, và 1893.
Bạn đang đọc: Nhóm Lie – Wikipedia tiếng Việt
Các sáng tạo độc đáo của Lie không phải là đứng đơn độc so với phần còn lại của toán học. Thật ra, những điều tra và nghiên cứu của ông về hình học của những phương trình vi phân được khởi xướng từ những tác phẩm của Carl Gustav Jacobi, về kim chỉ nan phương trình vi phân riêng phần bậc 1 và những phương trình của cơ học cổ xưa. Đa số những tác phẩm của Jacobi được xuất bản sau khi ông qua đời vào những năm 1860, đã được rất nhiều người quan tâm ở Pháp và Đức. Ý tưởng bắt đầu của Lie là tăng trưởng một triết lý về những đối xứng của những phương trình vi phân để đạt đến những điều mà Evarist Galois đã làm được cho những phương trình đại số : nghĩa là, phân loại chúng theo kim chỉ nan nhóm. Các nguyên do khác để điều tra và nghiên cứu những nhóm liên tục đến từ những ý tưởng sáng tạo của Bernhard Riemann, trên nền tảng của hình học, và những tăng trưởng thêm của Klein. Do đó ba sáng tạo độc đáo lớn của toán học trong thế kỉ 19 đã được tổng hợp lại bởi Lie để tạo ra kim chỉ nan mới của ông : ý tưởng sáng tạo của sự đối xứng, đã được làm mẫu bởi Galois trải qua khái niệm đại số của một nhóm ; kim chỉ nan hình học và những giải thuật tường minh ( explicit ) của những phương trình vi phân của cơ học, được tính ra bởi Poisson và Jacobi ; những hiểu biết mới về hình học tăng trưởng lên từ những khu công trình của Plücker, Möbius, Grassmann và những người khác, được dồn lại trong những tầm nhìn mang tính cách mạng của Riemann trong ngành này .
Mặc dù ngày nay Sophus Lie được công nhận một cách đúng đắn là người sáng lập ra lý thuyết về các nhóm liên tục, một bước phát triển lớn trong sự phát triển của lý thuyết cấu trúc, mà có nhiều ảnh hưởng lớn đến các phát triển sau này của toán học, được tạo ra bởi Wilhelm Killing, người vào năm 1888 xuất bản bài báo đầu tiên trong chuỗi bài báo nhan đề
Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (The composition of continuous finite transformation groups). Các công trình của Killing, sau này được tu chỉnh lại và tổng quát hóa bởi Elie Cartan, dẫn đến việc phân loại đại số Lie nửa đơn, lý thuyết của Cartan về các không gian đối xứng, và miêu tả của Hermann Weyl về biểu diễn của nhóm Lie compact và nửa đơn sử dụng highest weights.
Khái niệm về một nhóm Lie, và những năng lực phân loại[sửa|sửa mã nguồn]
Các nhóm Lie hoàn toàn có thể được xem như thể họ của những phép đối xứng đổi khác một cách trơn tru. Ví dụ như thể những phép quay xung quanh một trục cho trước. Điều cần phải được hiểu là thực chất của những phép đổi khác ‘ nhỏ ‘ này, ở đây là những phép quay với những góc cực nhỏ, nối kết những phép đổi khác lân cận nhau. Cấu trúc toán học chớp lấy cấu trúc này được gọi là một đại số Lie ( mà Lie gọi là ” những nhóm cực nhỏ ” ( ” infinitesimal groups ” ). Nó hoàn toàn có thể được định nghĩa do tại những nhóm Lie là những đa tạp ( manifold ), và những khoảng trống tiếp tuyến ( tangent space ) tại từng điểm cũng định nghĩa được .
Đại số Lie của bất kì một nhóm Lie compact nào (very roughly: one for which the symmetries form a bounded set) cũng có thể được phân tích ra được thành một tổng trực tiếp (direct sum) của một đại số Lie giao hoán và một số nhóm Lie đơn (simple Lie group) khác. Cấu trúc của một đại số Lie abelian là không có gì đáng nói; cái đáng để ý là tổng của các nhóm đơn. Do đó câu hỏi đặt ra là: Các đại số Lie đơn của một nhóm compact là gì? Câu trả lời là hầu hết nó thuộc về 4 gia đình vô hạn, các “đại số Lie cổ điển” An, Bn, Cn và Dn, và chúng có những mô tả khá đơn giản dưới dạng các phép đối xứng trong không gian Euclid. Nhưng cũng có chỉ 5 “đại số Lie ngoại lệ” không rơi vào bất kì các gia đình này. E8 là gia đình lớn nhất trong các gia đình này.
Ví dụ, những ma trận khả nghịch 2 × 2 định nghĩa trên toàn trường số thực ,
- [ a b c d ], a d − b c ≠ 0, { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } a và b \ \ c và d \ end { bmatrix } }, \ qquad ad-bc \ neq 0, }
tạo thành một nhóm với phép nhân, được ký hiệu bởi GL2(R), là một ví dụ cổ điển của một nhóm Lie; nó là một đa tạp trong không gian 4-chiều. Các giới hạn thêm trên các ma trận 2×2 biểu diễn các phép quay cho chúng ta một nhóm con, được ký hiệu là SO2(R), cũng là một nhóm Lie; mặt đa tạp của đó là 1-chiều, vòng tròn đơn vị, với góc quay là tham số. Trong ví dụ thứ 2 này chúng ta có thể viết một phần tử của nhóm như là
- [ cos λ − sin λ sin λ cos λ ], { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } \ cos \ lambda và – \ sin \ lambda \ \ \ sin \ lambda và \ cos \ lambda \ end { bmatrix } }, }
và quan sát rằng thành phần nghịch đảo của thành phần với tham số λ chỉ đơn thuần là thành phần với tham số − λ, trong khi thành phần tích của hai thành phần với tham số λ và μ được cho bởi λ + μ ; và do đó 2 toán tử của nhóm đều liên tục, như thể được nhu yếu .
Một nhóm Lie thực là một nhóm mà cũng là một đa tạp trơn (smooth manifold) hữu hạn chiều, mà trong đó các phép toán nhân và phép nghịch đảo là các biến đổi trơn.
Có một số khái niệm liên quan khá gần với khái niệm này. Một nhóm Lie phức được định nghĩa một cách tương tự sử dụng đa tạp phức hơn là các đa tạp thực (ví dụ: SL2(C)), và tương tự người ta có thể định nghĩa được một nhóm Lie p-adic trên các số p-adic. Một nhóm Lie vô hạn chiều được định nghĩa với một cách tương tự với việc cho phép đa tạp ẩn bên dưới định nghĩa được phép vô hạn chiều. Các nhóm ma trận hoặc là nhóm đại số nói một cách nôm na là các nhóm của các ma trận, (ví dụ, nhóm trực giao và nhóm symplectic) đưa ra các ví dụ thường gặp nhất của nhóm Lie.
Có thể định nghĩa tương tự nhiều nhóm Lie trên các trường hữu hạn, và những nhóm này đưa ra các ví dụ của các nhóm đơn hữu hạn. Người ta có thể thay đổi định nghĩa bằng cách sử dụng các đa tạp tô pô hay đa tạp giải tích (topological or analytic manifolds) thay vì các đa tạp trơn, nhưng hóa ra là các định nghĩa này không đưa ra thêm điều gì mới: Gleason, Montgomery và Zippin chứng minh trong những năm của thập kỉ 1950 rằng nếu
G
{\displaystyle G}
Ngôn ngữ của kim chỉ nan phạm trù cung ứng định nghĩa rõ ràng cho nhóm Lie : nhóm Lie là một đối tượng người tiêu dùng nhóm trong phạm trù những đa tạp trơn. Đây là đặc thù quan trọng, do nó được cho phép những nhà toán học tổng quát hóa khái niệm nhóm Lie thành siêu nhóm Lie .
Các ví dụ của những nhóm Lie[sửa|sửa mã nguồn]
Sau đây là một ví dụ của những nhóm Lie và mối quan hệ của chúng đến những ngành khác của toán học và vật lý học .
Nhiều ví dụ khác trong bảng những nhóm Lie và list những nhóm Lie đơn và nhóm ma trận .Có những cách để tạo thành một nhóm Lie mới từ những nhóm Lie cho trước :
- Tích của hai nhóm Lie là một nhóm Lie.
- Nhóm con đóng của một nhóm Lie là nhóm Lie.
- Nhóm thương của nhóm Lie cho nhóm con đóng chuẩn tắc là nhóm Lie.
- Phủ phổ dụng của một nhóm Lie liên thông là nhóm Lie. For example, the group R is the universal cover of the circle group S1.
Vài ví dụ các nhóm không phải là nhóm Lie:
- Nhóm vô hạn chiều, ví dụ như là nhóm dưới phép cộng của một không gian vector vô hạn chiều. Chúng không phải là các nhóm Lie bởi vì chúng không phải là các đa tạp hữu hạn chiều.
- Một số nhóm hoàn toàn rời rạc (totally disconnected), như là nhóm Galois của một mởi rộng vô hạn của các trường, or the additive group of the số p-adic. These are not Lie groups because their underlying spaces are not real manifolds. (Some of these groups are “p-adic Lie groups”.)
Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]
Xem thêm: API là gì? 4 đặc điểm nổi bật của API
Source: https://dvn.com.vn
Category: Hỏi Đáp
