Chứng minh toán học – Wikipedia tiếng Việt - Chia Sẻ Kiến Thức Điện Máy Việt Nam

Trong toán học, một chứng minh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn[1]. Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại lệ. Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng được gọi là một phỏng đoán.

Phát biểu đã được chứng tỏ thường được gọi là định lý [ 1 ]. Một khi định lý đã được chứng tỏ, nó hoàn toàn có thể được dùng làm nền tảng để chứng tỏ những phát biểu khác. Một định lý cũng hoàn toàn có thể được gọi là bổ đề, đặc biệt quan trọng nếu nó được dự tính dùng làm bước đệm để chứng tỏ một định lý khác .
Các tranh luận về sự hài hòa và hợp lý bằng cách sử dụng những đồ vật có sẵn như hình ảnh hay vật tựa như là tiền đề cho những chứng tỏ toán học đúng chuẩn [ 2 ]. Sự tăng trưởng của chứng tỏ toán học đa phần là mẫu sản phẩm của nền văn minh Hy Lạp. Thales ( 624 – 546 TCN ) đã chứng tỏ 1 số ít định lý trong hình học. Eudoxus ( 408 – 355 TCN ) và Theaetetus ( 417 – 369 TCN ) đã công thức hóa những định lý nhưng không chứng tỏ. Aristoteles ( 384 – 322 TCN ) nói rằng những định nghĩa cần được diễn đạt bằng những khái niệm đã biết. Euclid ( 300 TCN ) đã mở màn từ những thuật ngữ chưa được định nghĩa là những tiên đề ( những mệnh đề sử dụng những thuật ngữ chưa định nghĩa được giả thiết là hiển nhiên đúng, nguyên từ Hy Lạp là ” axios ” có nghĩa là ” một thứ giá trị ” ) và đã dùng những thứ này để chứng tỏ những định lý bằng luận lý suy diễn. Lý thuyết chứng tỏ văn minh xem những chứng tỏ là những cấu trúc tài liệu được định nghĩa một cách quy nạp. Người ta không còn giả thiết rằng những tiên đề khi nào cũng ” đúng đắn ” ; điều này được cho phép những kim chỉ nan toán học được thiết kế xây dựng song song nhau dựa trên những tập tiên đề khác nhau ( Lý thuyết tập hợp tiên đề và Hình học phi Euclid là những ví dụ ) .

Mục Lục

Các giải pháp chứng tỏ[sửa|sửa mã nguồn]

Chứng minh trực tiếp[sửa|sửa mã nguồn]

Trong chứng minh trực tiếp[3], kết luận có được bằng cách phối hợp một cách lôgic các tiên đề, định nghĩa, và các định lý trước đó. Ví dụ, chứng minh trực tiếp có thể dùng để chứng minh rằng tổng của hai số nguyên chẵn luôn luôn là số chẵn:

Bạn đang đọc: Chứng minh toán học – Wikipedia tiếng Việt

Với hai số nguyên chẵn bất kỳ

x

y

x=2a

y=2b

a

b

x { \ displaystyle x }

y { \ displaystyle y }

x+y=2a+2b=2(a+b)

Bài chứng tỏ này sử dụng định nghĩa số nguyên chẵn, và luật phân phối .

Chứng minh bằng quy nạp toán học[sửa|sửa mã nguồn]

Trong cách chứng minh bằng quy nạp toán học’[4], đầu tiên “trường hợp cơ sở” sẽ được chứng minh, sau đó sẽ dùng một “luật quy nạp” để chứng minh (thường là vô tận) các trường hợp khác. Vì trường hợp cơ sở là đúng, tất cả các trường hợp khác cũng phải đúng, thậm chí nếu ta không thể chứng minh trực tiếp tất cả chúng là đúng vì số lượng vô tận của nó. Một dạng con của quy nạp là phương pháp xuống thang. Phương pháp xuống thang được dùng để chứng minh sự vô tỷ của căn bậc 2 của 2.

Nguyên tắc quy nạp toán học như sau:
Cho N = { 1, 2, 3, 4,… } là tập các số tự nhiên và P(n) là một phát biểu toán học liên quan tới một số tự nhiên n thuộc N sao cho

(i) P(1) là đúng, tức là, P(n) là đúng khi n = 1
(ii) P(n + 1) là đúng bất cứ khi nào P(n) đúng, tức là, P(n) đúng thì với P(n + 1) cũng đúng.

Khi đó P(n) là đúng với mọi số tự nhiên n.

Các nhà toán học thường dùng cụm từ ” chứng tỏ bằng quy nạp ” để nói tắt cho chứng tỏ bằng quy nạp toán học [ 5 ]. Tuy vậy, thuật ngữ ” chứng tỏ bằng quy nạp ” cũng được dùng trong logic để nói đến một tranh luận sử dụng suy diễn quy nạp .

Chứng minh bằng chuyển vế[sửa|sửa mã nguồn]

Chứng minh bằng chuyển vế sẽ hình thành kết luận “nếu p thì q” bằng cách chứng minh phát biểu tương phản tương đương “nếu không q thì không p“.

Chứng minh bằng phản chứng[sửa|sửa mã nguồn]

Trong chứng minh bằng phản chứng (còn được gọi là reductio ad absurdum, tiếng La tinh có nghĩa là “thu giảm đến sự vô lý”), người ta sẽ chứng minh nếu một phát biểu nào đó xảy ra, thì dẫn đến mâu thuẫn về lôgic, vì vậy phát biểu đó không được xảy ra. Phương pháp này có lẽ là phương pháp phổ biến nhất trong chứng minh toán học. Một ví dụ nổi tiếng về cách chứng minh phản chứng là để chứng minh

{\displaystyle {\sqrt {2}}}

${\sqrt {2}}$ là một số vô tỷ:

Giả sử

2 { \ displaystyle { \ sqrt { 2 } } }

{\sqrt {2}}={a \over b}

Chứng minh bằng dẫn chứng[sửa|sửa mã nguồn]

Chứng minh bằng dẫn chứng, là đưa ra một dẫn chứng cụ thể với một thuộc tính nào đó để chứng minh rằng có tồn tại một thứ có tính chất như vậy. Ví dụ như Joseph Liouville đã chứng minh tồn tại số siêu việt bằng cách đưa ra một ví dụ rõ ràng.

Chứng minh vét cạn[sửa|sửa mã nguồn]

Trong chứng minh vét cạn, kết luận sẽ có được bằng cách chia nhỏ nó ra thành một số trường hợp hữu hạn và chứng minh mỗi trường hợp một cách riêng rẽ. Số trường hợp đôi khi rất lớn. Ví dụ như, cách chứng minh định lý bốn màu đầu tiên là một chứng minh vét cạn với 1.936 trường hợp. Cách chứng minh này còn gây tranh cãi vì đa số các trường hợp được kiểm chứng bằng chương trình máy tính, chứ không phải bằng tay. Cách chứng minh đã biết tới ngắn nhất của định lý bốn màu ngày nay vẫn có tới hơn 600 trường hợp.

Chứng minh xác suất[sửa|sửa mã nguồn]

Chứng minh xác suất là cách chứng minh trong đó người ta đưa một ví dụ để cho thấy nó có tồn tại, với một độ tin cậy nào đó, bằng cách dùng các phương pháp của lý thuyết xác suất. Cái này không nên nhầm lẫn với một tranh luận về một định lý ‘có thể’ đúng. Loại suy diễn sau có thể gọi là ‘tranh luận có vẻ đúng’ và không phải là một chứng minh; trong trường hợp phỏng đoán Collatz ta có thể thấy nó cách xa một chứng minh đúng nghĩa như thế nào[6]. Chứng minh xác suất, cũng như chứng minh bằng dẫn chứng, là một trong nhiều cách chứng minh định lý sự tồn tại.

Chứng minh tổng hợp[sửa|sửa mã nguồn]

Một chứng minh tổ hợp sẽ chứng minh sự tương đương của các cách biểu diễn khác nhau bằng cách cho thấy chúng dẫn đến cùng một đối tượng theo các cách khác nhau. Một song ánh giữa hai tập hợp thường được dùng để chứng minh rằng số biểu thức là bằng nhau.

Chứng minh không kiến thiết xây dựng[sửa|sửa mã nguồn]

Một chứng minh không xây dựng (nonconstructive proof) sẽ chứng minh một đối tượng toán học nào đó phải tồn tại (ví dụ “X nào đó thỏa mãn f(X)”), mà không giải thích làm thế nào để tìm đối tượng đó. Thông thường, nó có dạng như chứng minh phản chứng trong đó người ta chứng minh việc không tồn tại một đối tượng là không xảy ra. Ngược lại, một chứng minh xây dựng (chứng minh bằng dẫn chứng) chứng minh rằng một đối tượng nào đó tồn tại bằng cách đưa ra phương pháp tìm nó. Một ví dụ nổi tiếng về chứng minh không xây dựng là chứng minh tồn tại hai số vô tỷ

{\displaystyle a}

và

{\displaystyle b}

sao cho

{\displaystyle a^{b}}

$a^b$ là số hữu tỷ:

Hoặc

{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

a=b={\sqrt {2}}

2 2 { \ displaystyle { \ sqrt { 2 } } ^ { \ sqrt { 2 } } }

a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

b={\sqrt {2}}

\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2

a^{b}.

Chứng minh thống kê trong toán học thuần túy[sửa|sửa mã nguồn]

Cụm từ ” chứng tỏ thống kê ” hoàn toàn có thể được dùng như thuật ngữ hoặc một cách thường thì trong những nghành nghề dịch vụ toán học thuần túy, như những nghành tương quan đến mật mã hóa, chuỗi hỗn loạn, và kim chỉ nan số Xác Suất và nghiên cứu và phân tích [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]. Nó ít được dùng để chỉ một chứng tỏ toán học trong ngành toán học có tên thống kê toán học .

Chứng minh với sự tương hỗ của máy tính[sửa|sửa mã nguồn]

Cho đến thế kỷ thứ 20 người ta đã giả thiết rằng, trên nguyên tắc, tổng thể những chứng tỏ đều hoàn toàn có thể được một nhà toán học giỏi xác nhận sự đúng đắn của nó [ 2 ]. Tuy nhiên, ngày này máy tính được dùng cả để chứng tỏ những định lý lẫn triển khai những phép toán quá dài mà con người hoặc một nhóm người hoàn toàn có thể kiểm tra nổi ; cách chứng tỏ định lý bốn màu tiên phong là một ví dụ về một cách chứng tỏ có sự tương hỗ từ máy tính. Một số nhà toán học quan ngại rằng năng lực xảy ra lỗi trong một chương trình máy tính hoặc lỗi khi giám sát hoàn toàn có thể khiến cho sự đúng đắn của những cách chứng tỏ bằng máy tính bị đặt dấu hỏi. Trên thực tiễn, thời cơ xảy ra lỗi để bác bỏ một chứng tỏ của máy tính hoàn toàn có thể giảm thiểu bằng cách đưa vào sự trùng lặp và tự kiểm tra khi giám sát, và bằng cách tăng trưởng nhiều cách tiếp cận và chương trình độc lập nhau .

Các khái niệm tương quan[sửa|sửa mã nguồn]

Chứng minh bằng hình ảnh[sửa|sửa mã nguồn]

Mặc dù không phải là một cách chứng minh chính quy, một cách biểu diễn hình ảnh cho một định lý toán học đôi khi được gọi là “chứng minh không cần lời”. Hình ảnh bên phải là ví dụ của một chứng minh bằng hình ảnh cổ xưa định lý Pythagoras trong trường hợp tam giác (3, 4, 5).

Xem thêm: API là gì? 4 đặc điểm nổi bật của API

Chứng minh sơ cấp[sửa|sửa mã nguồn]

Một chứng tỏ sơ cấp là một chứng tỏ chỉ dùng những kỹ năng và kiến thức sơ cấp. Cụ thể hơn, thuật ngữ được dùng trong triết lý số để ám chỉ những chứng tỏ không sử dụng phân tích số phức. Đôi khi người ta cho rằng 1 số ít định lý, như định lý số nguyên tố, chỉ hoàn toàn có thể chứng tỏ bằng toán học ” hạng sang “. Tuy nhiên, qua thời hạn, nhiều trong số những hiệu quả này đã được chứng tỏ lại chỉ bằng những kiến thức và kỹ năng sơ cấp .

Chứng minh hai cột[sửa|sửa mã nguồn]

Một chứng tỏ hai cột xuất bản năm 1913Một dạng đơn cử của chứng tỏ sử dụng hai cột song song thường dùng trong những lớp hình học cơ bản [ 10 ]. Chứng minh được viết theo dạng một loạt hàng phân thành hai cột. Tại mỗi dòng, cột bên trái chứa những mệnh đề ( hai đôi lúc gọi là phát biểu ), còn cột bên phải là lời lý giải ngắn gọn mệnh đề đó là gì, một tiên đề, giả thuyết, hay có được từ dòng trên ( hoặc đôi lúc chỉ gọi là ” suy diễn ” ) .

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Source: https://dvn.com.vn
Category: Hỏi Đáp