Cách tính dãy bit

Hệ nhị phân (hay hệ đếm cơ số hai hoặc mã nhị phân) là một hệ đếm dùng hai ký tự để biểu đạt một giá trị số, bằng tổng số các lũy thừa của 2. Hai ký tự đó thường là 0 và 1; chúng thường được dùng để biểu đạt hai giá trị hiệu điện thế tương ứng (có hiệu điện thế, hoặc hiệu điện thế cao là 1 và không có, hoặc thấp là 0). Do có ưu điểm tính toán đơn giản, dễ dàng thực hiện về mặt vật lý, chẳng hạn như trên các mạch điện tử, hệ nhị phân trở thành một phần kiến tạo căn bản trong các máy tính đương thời.

Nội dung chính

• Mục lục
• Lịch sửSửa đổi
• Biểu thứcSửa đổi
• Biểu đạt giá trị dùng hệ nhị phânSửa đổi
• Nhị phân đơn giản hóaSửa đổi
• Các phép tính dùng hệ nhị phânSửa đổi
• Tính cộngSửa đổi
• Tính trừSửa đổi
• Tính nhânSửa đổi
• Tính chiaSửa đổi
• Phép toán thao tác bit trong hệ nhị phânSửa đổi
• Phương pháp chuyển hệ từ nhị phân sang các hệ khác và ngược lạiSửa đổi
• Hệ thập phânSửa đổi
• Hệ cơ số 32Sửa đổi
• Hệ thập lục phân (cơ số 16 hay hệ hexa)Sửa đổi
• Hệ bát phân (cơ số 8)Sửa đổi
• Biểu thị số thựcSửa đổi
• Tếu nhị phânSửa đổi
• Mã nhị phân sang kí tựSửa đổi
• Xem thêmSửa đổi
• Chú thíchSửa đổi
• Tham khảoSửa đổi
• Liên kết ngoàiSửa đổi
• Video liên quan

Mục lục

• 1 Lịch sử
• 2 Biểu thức
• 3 Biểu đạt giá trị dùng hệ nhị phân
• 4 Nhị phân đơn giản hóa
• 5 Các phép tính dùng hệ nhị phân
  • 5.1 Tính cộng
  • 5.2 Tính trừ
  • 5.3 Tính nhân
  • 5.4 Tính chia
• 6 Phép toán thao tác bit trong hệ nhị phân
• 7 Phương pháp chuyển hệ từ nhị phân sang những hệ khác và ngược lại
  • 7.1 Hệ thập phân
  • 7.2 Hệ cơ số 32
  • 7.3 Hệ thập lục phân ( cơ số 16 hay hệ hexa )
  • 7.4 Hệ bát phân ( cơ số 8 )
• 8 Biểu thị số thực
• 9 Tếu nhị phân
• 10 Mã nhị phân sang kí tự
• 11 Xem thêm
• 12 Chú thích
• 13 Tham khảo
• 14 Liên kết ngoài

Lịch sửSửa đổi

Hệ nhị phân được nhà toán học cổ người Ấn Độ Pingala phác thảo từ thế kỷ thứ ba trước Công Nguyên .
Hệ 64 quẻ Tiên thiên và Hà đồ trong Kinh dịchHệ 64 quẻ Tiên thiên và Hà đồ trong Kinh dịchMột bộ trọn 8 hình bát quái với 64 hình sao sáu cạnh, tương đương với 3 bit và 6 bit trong thông số nhị phân, đã được ghi lại trong điển tịch cổ Kinh Dịch .Nhiều tổng hợp nhị phân tương tự như cũng được tìm thấy trong mạng lưới hệ thống bói toán truyền thống cuội nguồn của châu Phi, ví dụ như Ifá, và trong môn bói đất của phương Tây .Tổ hợp thứ tự của những hình sao sáu cạnh trong Kinh Dịch, đại diện thay mặt cho một dãy số nguyên thập phân từ 0 đến 63, cùng với một công thức để sinh tạo dãy số ấy, đã được học giả và nhà triết học người Nước Trung Hoa tên là Thiệu Ung ( 邵雍 ), thế kỷ 11, thiết lập. Dầu vậy, không có ghi chép nào để lại, bộc lộ dẫn chứng là Thiệu Ung thông hiểu cách thống kê giám sát, dùng hệ nhị phân .

Trong thế kỷ 17, nhà triết học người Đức tên là Gottfried Leibniz đã ghi chép lại một cách trọn vẹn hệ thống nhị phân trong bài viết “Giải thích về thuật toán trong hệ nhị phân” (Explication de l’Arithmétique Binaire). Hệ thống số mà Leibniz dùng chỉ bao gồm số 0 và số 1, tương đồng với hệ số nhị phân đương đại.[1]

Năm 1854, nhà toán học người Anh, George Boole đã cho xuất bản một bài viết cụ thể về một mạng lưới hệ thống lôgic mà sau này được biết là đại số Boole, lưu lại một bước ngoặt trong lịch sử dân tộc toán học. Hệ thống lôgic của ông đã trở thành nền tảng trong việc thiết kế hệ nhị phân, đặc biệt quan trọng trong việc thực thi mạng lưới hệ thống này trên bảng điện tử. [ 2 ]

Vào năm 1937, nhà toán học và kỹ sư điện tử người Mỹ, Claude Elwood Shannon, viết một luận án cử nhân tại MIT, trình bày phương thức kiến tạo hệ thống đại số Boole và số học nhị phân dùng các rơ-le và công tắc lần đầu tiên trong lịch sử. Bài viết với đầu đề “Bản phân tích tượng hình của mạch điện dùng rơ-le và công tắc” (A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits). Bản luận án của ông đã được chứng minh là có tính khả thi trong việc thiết kế mạch điện kỹ thuật số.[3]

Tháng 11 năm 1937, ông George Stibitz, lúc đó đang làm việc tại Bell Labs, hoàn thành việc thiết kế một máy tính dùng các rơ-le và đặt tên cho nó là “Mô hình K” (Model K) – chữ K ở đây là chữ cái đầu tiên của từ kitchen trong tiếng Anh, nghĩa là “nhà bếp”, nơi ông lắp ráp máy tính của mình. Máy tính của ông có thể tính toán dùng phép tính cộng của hệ nhị phân.[4] Cơ quan Bell Labs vì thế đã ra lệnh và cho phép một chương trình nghiên cứu tổng thể được thi hành vào cuối năm 1938 dưới sự chỉ đạo của ông Stibitz. Máy tính số phức hợp (Complex Number Computer) của họ, được hoàn thành vào ngày 8 tháng 1 năm 1940, có thể giải trình số phức hợp. Trong một cuộc luận chứng tại hội nghị của Hội Toán học Mỹ (American Mathematical Society), được tổ chức tại Dartmouth College vào ngày 11 tháng 9 năm 1940, ông Stibitz đã có thể truyền lệnh cho Máy tính số phức hợp từ xa, thông qua đường dây điện thoại, bằng một máy điện báo đánh chữ (teletype). Đây là máy tính đầu tiên được sử dụng với phương pháp điều khiển từ xa dùng đường dây điện thoại. Một số thành viên tham gia hội nghị và được chứng kiến cuộc thuyết trình bao gồm John von Neumann, John Mauchly và Norbert Wiener, đã viết lại sự kiện này trong hồi ký của mình.[5][6][7]

Biểu thứcSửa đổi

Bất cứ số nào cũng có thể biểu đạt được trong hệ nhị phân bằng một dãy đơn vị bit (binary digit, số ký nhị phân), do đó có thể được diễn giải bằng bất cứ một cơ cấu có khả năng thể hiện hai thể trạng biệt lập. Bản liệt kê những dãy ký tự sau đây cho phép sự giải nghĩa tương đồng với những giá trị số trong hệ nhị phân:

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0
| – | – – | | – | –
x o x o o x x o x o
y n y n n y y n y n

Một cái đồng hồ nhị phân có thể dùng LED để biểu tả các số nhị phân. Trong đồng hồ này, mỗi cột các đèn LED biểu tả một con số thập phân mã hóa bằng hệ nhị phân (binary-coded decimal), đại diện cho thời gian, dùng hệ lục thập phân (sexagesimal) (60) truyền thốngMột cái đồng hồ đeo tay nhị phân hoàn toàn có thể dùng LED để biểu tả những số nhị phân. Trong đồng hồ đeo tay này, mỗi cột những đèn LED biểu tả một số lượng thập phân mã hóa bằng hệ nhị phân ( ), đại diện thay mặt cho thời hạn, dùng hệ lục thập phân ( ) ( 60 ) truyền thống lịch sử1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 | – | – – | | – | – x o x o o x x o x o y n y n n y y n y n

Giá trị số biểu đạt trong mỗi trường hợp trên phụ thuộc vào giá trị mà nó được gán ghép để đại diện. Trong máy tính, những giá trị số được biểu hiện bằng hai hiệu điện thế khác nhau; trong đĩa từ tính (magnetic disk) thì chiều phân của các lưỡng cực từ có thể được dùng để biểu hiện hai giá trị này. Một giá trị biểu đạt trạng thái “dương”, “có” hoặc “chạy” không có nghĩa là giá trị tương tự với số một trong hệ số, song nó còn tuỳ thuộc vào kiến trúc của hệ thống đang được dùng.

Song hành với chữ số Ả Rập thường dùng, số nhị phân thường được diễn đạt bằng hai ký tự 0 và 1. Khi được viết, những số nhị phân thường được ký hiệu hóa gốc của thông số. Những phương pháp ký hiệu thường được dùng hoàn toàn có thể liệt kê ở dưới đây :
100101 binary (đặc tả phân dạng hệ số)
100101b (chữ b nối tiếp ám chỉ phân dạng hệ số nhị phân – lấy chữ đầu của binary trong tiếng Anh, tức là “nhị phân”)
bin 100101 (dùng ký hiệu dẫn đầu để đặc tả phân dạng hệ số nhị phân – bin cũng được lấy từ binary)
1001012 (ký hiệu viết nhỏ phía dưới ám chỉ gốc nhị phân)100101 binary ( đặc tả phân dạng thông số ) 100101 b ( chữ b tiếp nối đuôi nhau ám chỉ phân dạng thông số nhị phân – lấy chữ đầu củatrong tiếng Anh, tức là ” nhị phân ” ) bin 100101 ( dùng ký hiệu đứng vị trí số 1 để đặc tả phân dạng thông số nhị phân – cũng được lấy từ ) 1001012 ( ký hiệu viết nhỏ phía dưới ám chỉ gốc nhị phân )Khi nói, mỗi ký tự số của những giá trị số nhị phân thường được phát âm riêng không liên quan gì đến nhau, để phân biệt chúng với số thập phân. Chẳng hạn, giá trị ” 100 ” nhị phân được phát âm là ” một không không “, thay vì ” một trăm “, để diễn đạt đơn cử tính nhị phân của giá trị đang nói đến, đồng thời bảo vệ sự đúng mực trong việc truyền tin qua lại. Vì giá trị ” 100 ” tương tự với giá trị ” 4 ” trong hệ thập phân, nên nếu được truyền đạt là ” một trăm ” thì nó sẽ gây sự hỗn loạn trong tư duy .

Biểu đạt giá trị dùng hệ nhị phânSửa đổi

Cách đếm trong hệ nhị phân tương tự như như cách đếm trong những mạng lưới hệ thống số khác. Bắt đầu bằng số ở hàng đơn vị chức năng với một ký tự, việc đếm số được khai triển dùng những ký tự được cho phép để ám chỉ giá trị, theo chiều tăng lên. Hệ thập phân được đếm từ ký tự 0 đến ký tự 9, trong khi hệ nhị phân chỉ được dùng ký tự 0 và 1 mà thôi .Khi những ký tự cho một hàng đã dùng hết ( như hàng đơn vị chức năng, hàng chục, hàng trăm trong hệ thập phân ), thì số lượng tại hàng tiếp theo ( về bên trái ) được nâng giá trị lên một vị trí, và số lượng ở hàng hiện tại được hoàn trả lại vị trí tiên phong dùng ký tự 0. Trong hệ thập phân, quy trình đếm tựa như như sau :
000, 001, 002,… 007, 008, 009, (số cuối cùng ở bên phải quay trở lại vị trí ban đầu trong khi số tiếp theo ở bên trái được nâng cấp lên một giá trị)
010, 011, 012,…
…
090, 091, 092,… 097, 098, 099, (hai số bên phải chuyển về vị trí ban đầu trong khi số tiếp theo ở bên trái được nâng cấp lên một giá trị)
100, 101, 102,…000, 001, 002, … 007, 008, 009, ( số ở đầu cuối ở bên phải quay trở lại vị trí bắt đầu trong khi số tiếp theo ở bên trái được tăng cấp lên một giá trị ) 00, 011, 012, … … 090, 091, 092, … 097, 098, 099, ( hai số bên phải chuyển về vị trí khởi đầu trong khi số tiếp theo ở bên trái được tăng cấp lên một giá trị ) 00, 101, 102, …Sau khi một số lượng đạt đến ký tự 9, thì số lượng ấy được hoàn trả lại vị trí bắt đầu là số 0, đồng thời gây cho số lượng tiếp theo ở bên trái được tăng cấp lên một vị trí mới. Trong hệ nhị phân, quy luật đếm số tương đương như trên cũng được vận dụng, chỉ khác một điều là số ký tự được dùng chỉ có 2 mà thôi, tức là ký tự 0 và 1 được dùng mà thôi. Vì vậy, khi một số lượng đã chuyển lên đến ký tự một trong hệ nhị phân, sự tăng cấp của giá trị bắt nó hoàn trả lại vị trí bắt đầu, tức là số 0, và tăng cấp số lượng tiếp theo về bên trái lên một giá trị :
000, 001, (số cuối bên phải được hoàn trả lại vị trí ban đầu, trong khi số ở hàng bên cạnh về phía tay trái được nâng cấp lên một giá trị)
010, 011, (hai số cuối bên phải được hoàn trả lại vị trí ban đầu, trong khi số ở hàng bên cạnh về phía tay trái được nâng cấp lên một giá trị)
100, 101,…000, 001, ( số cuối bên phải được hoàn trả lại vị trí khởi đầu, trong khi số ở hàng bên cạnh về phía tay trái được tăng cấp lên một giá trị ) 00, 011, ( hai số cuối bên phải được hoàn trả lại vị trí bắt đầu, trong khi số ở hàng bên cạnh về phía tay trái được tăng cấp lên một giá trị ) 00, 101, …

Nhị phân đơn giản hóaSửa đổi

Để đơn giản hoá hệ nhị phân, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể nghĩ như sau : Chúng ta dùng hệ thập phân. Điều này có nghĩa là những giá trị của mỗi hàng số ( hàng đơn vị chức năng, hàng chục v.v.. ) chỉ được diễn đạt bởi một trong 10 ký tự mà thôi : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, hoặc 9. Chúng ta ai cũng thông thuộc với những ký tự này và cách dùng của chúng trong hệ thập phân. Khi tất cả chúng ta đếm những giá trị, tất cả chúng ta mở màn bằng ký tự 0, luân chuyển nó đến ký tự 9. Chúng ta gọi nó là ” một hàng ” .Với những số lượng ở trên trong một hàng, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể liên tưởng đến phỏng vấn về tính nhân. Số 5 hoàn toàn có thể hiểu là 5 × 100 ( 100 = 1 ) tương tự với 5 x 1, vì bất kỳ 1 số ít nào có mũ 0 cũng đều bằng 1 ( tất yếu là loại trừ số 0 ra ). Khi khai triển sang bên trái một vị trí, tất cả chúng ta nâng số mũ của 10 lên một giá trị, thế cho nên để miêu tả 50, tất cả chúng ta dùng giải pháp tương tự như và số này hoàn toàn có thể được viết như 5 x 101, hoặc đơn thuần hơn 5 x 10 .

500 = ( 5 × 10 2 ) + ( 0 × 10 1 ) + ( 0 × 10 0 ) { \ displaystyle 500 = ( 5 \ times 10 ^ { 2 } ) + ( 0 \ times 10 ^ { 1 } ) + ( 0 \ times 10 ^ { 0 } ) }

5834 = ( 5 × 10 3 ) + ( 8 × 10 2 ) + ( 3 × 10 1 ) + ( 4 × 10 0 ) { \ displaystyle 5834 = ( 5 \ times 10 ^ { 3 } ) + ( 8 \ times 10 ^ { 2 } ) + ( 3 \ times 10 ^ { 1 } ) + ( 4 \ times 10 ^ { 0 } ) }

Khi tất cả chúng ta đã dùng hết những ký tự trong hệ thập phân, tất cả chúng ta chuyển vị trí sang bên trái và khởi đầu với số 1, đại diện thay mặt cho hàng chục. Tiếp đó tất cả chúng ta hoàn trả hàng ” đơn vị chức năng ” về ký tự tiên phong, số không .Hệ nhị phân có gốc 2, cũng hoạt động giải trí trên cùng một nguyên tắc như hệ thập phân, tuy nhiên chỉ dùng 2 ký tự để đại diện thay mặt cho hai giá trị : 0 và 1. Chúng ta mở màn bằng hàng ” đơn vị chức năng “, đặt số 0 thứ nhất, rồi tăng cấp lên số 1. Khi đã lên đến số 1, tất cả chúng ta không còn ký tự nào nữa để liên tục diễn đạt những giá trị cao hơn, do vậy tất cả chúng ta phải đặt số 1 ở ” hàng hai ” ( tựa như như hàng chục trong hệ thập phân ), vì tất cả chúng ta không có ký tự ” 2 ” trong hệ nhị phân để miêu tả giá trị này như tất cả chúng ta hoàn toàn có thể làm được trong hệ thập phân .Trong hệ nhị phân, giá trị 10 hoàn toàn có thể miêu tả bằng hình thức tương tự như như ( 1 x 21 ) + ( 0 x 20 ). Giá trị này bằng 2 trong hệ thập phân. Nhị phân sang thập phân tương đương :

1 2 = 1 × 2 0 = 1 × 1 = 1 10 { \ displaystyle 1 _ { 2 } = 1 \ times 2 ^ { 0 } = 1 \ times 1 = 1 _ { 10 } }

10 2 = ( 1 × 2 1 ) + ( 0 × 2 0 ) = 2 + 0 = 2 10 { \ displaystyle 10 _ { 2 } = ( 1 \ times 2 ^ { 1 } ) + ( 0 \ times 2 ^ { 0 } ) = 2 + 0 = 2 _ { 10 } }

101 2 = ( 1 × 2 2 ) + ( 0 × 2 1 ) + ( 1 × 2 0 ) = 4 + 0 + 1 = 5 10 { \ displaystyle 101 _ { 2 } = ( 1 \ times 2 ^ { 2 } ) + ( 0 \ times 2 ^ { 1 } ) + ( 1 \ times 2 ^ { 0 } ) = 4 + 0 + 1 = 5 _ { 10 } }

Để quan sát công thức biến chuyển đơn cử từ hệ này sang hệ kia, xin xem thêm phần Phương pháp chuyển hệ dưới đây .

Ngược lại, chúng ta có thể suy nghĩ theo một cách khác. Khi chúng ta đã dùng hết các ký tự trong hệ thống số, chẳng hạn dãy số “11111”, chúng ta cộng thêm “1” vào phía bên trái và hoàn trả tất cả các con số ở vị trí bên phải về số “0”, tạo thành 100000. Phương thức này cũng có thể dùng được cho các ký tự ở giữa dãy số. Chẳng hạn với dãy số 100111. Nếu chúng ta cộng thêm 1 vào số này, chúng ta phải chuyển vị trí về bên trái một vị trí bên cạnh các con số 1 trùng lặp (vị trí thứ tư), nâng cấp vị trí này từ số 0 lên số 1, rồi hoàn trả tất cả các con số 1 bên tay phải về vị trí số không, tạo thành 101000.

Các phép tính dùng hệ nhị phânSửa đổi

Phép tính dùng trong hệ nhị phân cũng tương tự như như những phép tính được vận dụng trong những hệ khác. Tính cộng, tính trừ, tính nhân và tính chia cũng hoàn toàn có thể được vận dụng với những giá trị số nhị phân .

Tính cộngSửa đổi

Một sơ đồ mạch điện (circuit diagram) mạch bán cộng nhị phân, dùng để cộng hai bit với nhau, tạo nên một tổng và số nhớ mang sang hàng bên cạnhMột sơ đồ mạch điện ( ) mạch bán cộng nhị phân, dùng để cộng hai bit với nhau, tạo nên một tổng và số nhớ mang sang hàng bên cạnhPhép tính đơn thuần nhất trong hệ nhị phân là tính cộng. Cộng hai đơn vị chức năng trong hệ nhị phân được làm như sau :
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 (nhớ 1 lên hàng thứ 2)0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 ( nhớ 1 lên hàng thứ 2 )Cộng hai số ” 1 ” với nhau tạo nên giá trị ” 10 “, tương tự với giá trị 2 trong hệ thập phân. Điều này xảy ra tương tự như trong hệ thập phân khi hai số đơn vị chức năng được cộng vào với nhau. Nếu hiệu quả bằng hoặc cao hơn giá trị gốc ( 10 ), giá trị của số lượng ở hàng tiếp theo được nâng lên :
5 + 5 = 10
7 + 9 = 165 + 5 = 10 7 + 9 = 16Hiện tượng này được gọi là ” nhớ ” hoặc ” mang sang “, trong hầu hết những mạng lưới hệ thống số dùng để tính, đếm. Khi tổng số vượt lên trên gốc của thông số, phương pháp làm là ” nhớ ” một sang vị trí bên trái, thêm một hàng. Phương thức ” nhớ ” cũng hoạt động giải trí tựa như trong hệ nhị phân :
1 1 1 1 1 (nhớ)
0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
————-
= 1 0 0 1 0 0 => 1 0 0 1 0 1

Bản sửa đổi
a b c d e f
1 1 1 1 1 0 (nhớ)
0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
Hoặc ta có thể ghi thành
1 1 1 1 1 0 (nhớ)
0 0 1 1 0 1
+ 0 1 0 1 1 1
————-
= 1 0 0 1 0 0
(tính chất số 0 đứng ở đầu tiên không có giá trị)
Ở cột f hàng nhớ là bằng 0 (khởi tạo giá trị bộ nhớ ban đầu không có gì nên bằng 0)
Chính xác thì phép tính được thực hiện theo dạng (nhớ) + số đầu tiên + số thứ 2
f. 0 + 1 + 1 = 1 0 => 0 vào kết quả (1 vào nhớ)
e. 1 + 0 + 1 = 1 0 => 0 vào kết quả (1 vào nhớ)
d. 1 + 1 + 1 = 1 1 => 1 vào kết quả (1 vào nhớ)
” Chú thích cho phép tính c:
g h
0 0 (nhớ)
1 0
+ 0 1
= 1 1
h. 0 + 0 + 1 = 1 => 1 vào kết quả (0 vào nhớ)
g. 0 + 1 + 0 = 1 => 1
=> KQ = 1 1 ”
c. 1 + 1 + 0 = 1 0 => 0 vào kết quả (1 vào nhớ)
b. 1 + 0 + 1 = 1 0 => 0 vào kết quả (1 vào nhớ)
a. 1 + 0 + 0 = 1 => 1 vào kết quả
=> 100100
P/s: Phép tính trên do tự tính có gì sai xin chỉ giáo

1 1 1 1 1 ( nhớ ) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ————- = 1 0 0 1 0 0 => 1 0 0 1 0 1 Bản sửa đổi a b c d e f 1 1 1 1 1 0 ( nhớ ) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 Hoặc ta hoàn toàn có thể ghi thành 1 1 1 1 1 0 ( nhớ ) 0 0 1 1 0 1 + 0 1 0 1 1 1 ————- = 1 0 0 1 0 0 ( đặc thù số 0 đứng ở tiên phong không có giá trị ) Ở cột f hàng nhớ là bằng 0 ( khởi tạo giá trị bộ nhớ khởi đầu không có gì nên bằng 0 ) Chính xác thì phép tính được thực thi theo dạng ( nhớ ) + số tiên phong + số thứ 2 f. 0 + 1 + 1 = 1 0 => 0 vào hiệu quả ( 1 vào nhớ ) e. 1 + 0 + 1 = 1 0 => 0 vào tác dụng ( 1 vào nhớ ) d. 1 + 1 + 1 = 1 1 => 1 vào tác dụng ( 1 vào nhớ ) ” Chú thích cho phép tính c : g h 0 0 ( nhớ ) 1 0 + 0 1 = 1 1 h. 0 + 0 + 1 = 1 => 1 vào tác dụng ( 0 vào nhớ ) g. 0 + 1 + 0 = 1 => 1 => KQ = 1 1 ” c. 1 + 1 + 0 = 1 0 => 0 vào tác dụng ( 1 vào nhớ ) b. 1 + 0 + 1 = 1 0 => 0 vào tác dụng ( 1 vào nhớ ) a. 1 + 0 + 0 = 1 => 1 vào hiệu quả => 100100 P. / s : Phép tính trên do tự tính có gì sai xin chỉ giáoTrong ví dụ trên, hai số được cộng với nhau : 011012 ( 13 thập phân ) và 101112 ( 23 thập phân ). Hàng trên cùng miêu tả những số nhớ, hoặc mang sang. Bắt đầu bằng cột sau cuối bên phải, 1 + 1 = 102. 1 được mang sang bên trái, và 0 được viết vào hàng tổng phía dưới, cột ở đầu cuối bên phải. Hàng thứ hai từ cột sau cuối bên phải được cộng tiếp theo : 1 + 0 + 1 = 102 ; Số 1 lại được nhớ lại và mang sang, và số 0 được viết xuống dưới cùng. Cột thứ ba : 1 + 1 + 1 = 112. Lần này 1 được nhớ và mang sang hàng bên cạnh, và 1 được viết xuống hàng dưới cùng. Tiếp tục khai triển theo quy luật trên cho tất cả chúng ta đáp án sau cuối là 1001002 .Trong Đánh thức kĩ năng quyển 5, tập 22 đã ghi những kiến thức và kỹ năng này .

Tính trừSửa đổi

Phép tính trừ theo quy định tựa như :
0 0 = 0
0 1 = 1 (mượn 1 ở bit tiếp theo)
1 0 = 1
1 1 = 00 0 = 0 0 1 = 1 ( mượn 1 ở bit tiếp theo ) 1 0 = 1 1 1 = 0Một đơn vị chức năng nhị phân được trừ với một đơn vị chức năng nhị phân khác như sau :
* * * * (hình sao đánh dấu các cột phải mượn)
1 1 0 1 1 1 0
1 0 1 1 1
—————
=1 0 1 0 1 1 1

1 1 1 1 (bit mượn)
1 1 0 1 1 1 0
– 1 0 1 1 1
—————–
=1 0 1 0 1 1 1

* * * * ( hình sao lưu lại những cột phải mượn ) 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 ————— = 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 ( bit mượn ) 1 1 0 1 1 1 0 – 1 0 1 1 1 —————– = 1 0 1 0 1 1 1Trừ hai số dương cũng tương tự như như ” cộng ” một số âm với giá trị tương đương của một số ít tuyệt đối ; máy tính thường dùng ký hiệu Bù 2 để diễn đạt số có giá trị âm. Ký hiệu này loại trừ được nhu yếu bức thiết phải có một giải pháp làm phép trừ khác biệt. Xin xem thêm cụ thể trong chương mục Bù 2 .

Tính nhânSửa đổi

Phép tính nhân trong hệ nhị phân cũng tương tự như như giải pháp làm trong hệ thập phân. Hai số A và B được nhân với nhau bởi những tích số cục bộ : với mỗi số lượng ở B, tích của nó với số một số lượng trong A được tính và viết xuống một hàng mới, mỗi hàng mới phải chuyển dịch vị trí sang bên trái, hầu cho số lượng sau cuối ở bên phải đứng cùng cột với vị trí của số lượng ở trong B đang dùng. Tổng của những tích cục bộ này cho ta hiệu quả tích số ở đầu cuối .Vì chỉ có hai số lượng trong hệ nhị phân, nên chỉ có 2 tác dụng khả quan trong tích cục bộ :

• Nếu con số trong B là 0, tích cục bộ sẽ là 0
• Nếu con số trong B là 1, tích cục bộ sẽ là số ở trong A

Ví dụ, hai số nhị phân 1011 và 1010 được nhân với nhau như sau :
1 0 1 1 (A)
× 1 0 1 0 (B)
————–
0 0 0 0 tương đương với 0 trong B
+ 1 0 1 1 tương đương với một trong A
+ 0 0 0 0
+ 1 0 1 1
—————
= 1 1 0 1 1 1 0

1 0 1 1 ( A ) × 1 0 1 0 ( B ) ————– 0 0 0 0 tương tự với 0 trong B + 1 0 1 1 tương tự với một trong A + 0 0 0 0 + 1 0 1 1 ————— = 1 1 0 1 1 1 0

Xem thêm Phương pháp làm tính nhân của Booth.

Tính chiaSửa đổi

Tính chia nhị phân cũng tương tự như như phép chia trong hệ thập phân .
__________
1 1 0 1 1 |1 0 1

__________ 1 1 0 1 1 | 1 0 1Ở đây ta có số bị chia là 110112, hoặc 27 trong số thập phân, số chia là 1012, hoặc 5 trong số thập phân. Cách làm tựa như với cách làm trong số thập phân. Ở đây ta lấy 3 số đầu của số bị chia 1102 để chia với số chia, tức là 1012, được 1, viết lên trên hàng kẻ. Kết quả này được nhân với số chia, và tích số được trừ với 3 số đầu của số bị chia. Số tiếp theo là một số lượng 1 được hạ xuống để tạo nên một dãy số có ba số lượng, tương tự như với số lượng những số lượng của số chia :
1
__________
1 1 0 1 1 | 1 0 1
1 0 1
—–
0 0 1

1 __________ 1 1 0 1 1 | 1 0 1 1 0 1 —– 0 0 1Quy luật trên được lặp lại với những hàng số mới, liên tục cho đến khi toàn bộ những số lượng trong số bị chia đã được dùng hết :
1 0 1
__________
1 1 0 1 1 | 1 0 1
1 0 1
—–
0 0 1 1
0 0 0
—–
1 1 1
1 0 1
—–
1 0

1 0 1 __________ 1 1 0 1 1 | 1 0 1 1 0 1 —– 0 0 1 1 0 0 0 —– 1 1 1 1 0 1 —– 1 0Phân số của 110112 chia cho 1012 là 1012, như liệt kê phía trên đường kẻ, trong khi số dư còn lại được viết ở hàng cuối là 102. Trong hệ thập phân, 27 chia cho 5 được 5, dư 2 .

Phép toán thao tác bit trong hệ nhị phânSửa đổi

Mặc dù không liên quan trực tiếp đến sự nhận dạng của các ký tự trong hệ nhị phân, song các dãy số nhị phân có thể được thao tác dùng những toán tử trong logic Boole. Khi một dãy số trong hệ nhị phân được thao tác dùng các toán tử này, chúng ta gọi nó là Phép toán thao tác bit. Những thao tác dùng các toán tử AND (tương tự với tác động của chữ “và” trong lôgic, cả hai đơn vị so sánh phải là 1 thì mới cho kết quả 1), OR (tương tự với tác động của chữ “hoặc” trong lôgic, một trong hai đơn vị so sánh là 1 thì cho kết quả là 1), và XOR (nếu 2 bit được so sánh mà khác nhau thì kết quả bằng 1, giống nhau thì bằng 0) có thể được thi hành với từng cặp bit tương đồng trong một cặp số của hai số nhị phân. Thao tác của toán tử lôgic NOT (phép đổi ngược, 0 thành 1 và ngược lại) có thể được thi hành trên từng bit một trong một con số nhị phân. Đôi khi, những phép thao tác này được dùng làm những phương pháp cắt ngắn (làm nhanh) trong các thao tác số học, đồng thời chúng cũng cung cấp những lợi ích khác trong việc xử lý máy tính. Lấy ví dụ, loại bỏ bit cuối cùng (bên phải) trong một số nhị phân (còn được gọi là phép toán chuyển vị nhị phân – binary shifting) tương đương với phép chia 2 trong hệ thập phân, vì khi làm như vậy, giá trị của số giảm xuống một nửa. Xin xem thêm Phép toán thao tác bit.

Phương pháp chuyển hệ từ nhị phân sang các hệ khác và ngược lạiSửa đổi

Hệ thập phânSửa đổi

Phương pháp này hoàn toàn có thể vận dụng để chuyển số từ bất kỳ gốc nào, tuy nhiên cạnh bên đó còn có những phương pháp tốt hơn cho những số là tích số của một mũ, với số nguyên 2, ví dụ điển hình như hệ bát phân ( 23 ), và hệ thập lục phân ( 24 ) liệt kê dưới đây .Trong những mạng lưới hệ thống số với giá trị của số lượng được xác định bởi vị trí của nó trong một dãy những ký hiệu số lượng, những số lượng ở vị trí thấp hơn, hoặc vị trí ít quan trọng hơn ( ít quan trọng hơn là vì khi thống kê giám sát những số lớn và sai số xảy ra, mất những số này sẽ không quan trọng và không gây ảnh hưởng tác động lớn đến tác dụng giám sát, ví dụ điển hình số thập phân 10034 hoàn toàn có thể được tính tròn số lại thành 10000 trong một thống kê dân số mà không gây ảnh hưởng tác động lớn đến tác dụng thống kê ), thường có số mũ nhỏ hơn theo thông số gốc ( 20 < 23 ). Số mũ tiên phong, là một số ít kém hơn số lượng những chữ số, của một số lượng nào đó, bởi 1 giá trị. Một số lượng có 5 chữ số sẽ có số mũ tiên phong bằng 4. Trong hệ thập phân, gốc của hệ là 10, vậy số sau cuối ở bên trái của 1 số ít có 5 chữ số có số mũ là 4, được bộc lộ là ở vị trí 104 ( chục nghìn ). Xem xét ví dụ sau : 97352 tương đương với:

tương tự với :

Phép nhân với gốc của hệ số trở thành một phép tính đơn giản. Vị trí của các chữ số được dịch sang bên trái một vị trí, và số 0 được thêm vào ở phía bên phải của dãy các con số. Ví dụ 9735 nhân 10 bằng 97350. Một cách định giá trị của một dãy các con số, khi một con số được cộng vào sau con số cuối cùng, bằng cách nhân tất cả các chữ số trước con số cuối cùng ấy với gốc của hệ, trừ số cuối cùng ra, rồi cộng với con số ấy sau cùng. 97352 = 9735 x 10 + 2. Một ví dụ trong hệ nhị phân là 11011001112 = 1101100112 x 2 + 1. Đây chính là mấu chốt của phép biến đổi hệ số. Trong mỗi bước làm, chúng ta viết xuống con số sẽ phải đổi hệ theo công thức 2 × k + 0 hoặc 2 × k + 1 với một số nguyên k nào đó, và nó sẽ trở thành một số mới mà chúng ta muốn đổi.

118 tương đương:

1 × 26 + 1 × 25 + 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20
11101102tương tự : × 26 + × 25 + × 24 + × 23 + × 22 + × 21 + × 20Do vậy giải pháp đổi khác một số ít nguyên, ở hệ thập phân sang hệ nhị phân tương tự, hoàn toàn có thể được thực thi bằng cách chia số này cho 2, và những số dư được viết xuống vào hàng ( đơn vị chức năng ) của nó. Kết quả lại liên tục được chia 2, và số dư lại được viết xuống vào hàng ( chục ) của nó. Phương thức này được liên tục nhắc lại cho đến khi thương số của phép chia là 0 .Ví dụ, 118, trong hệ thập phân là :

Lược trình những số lượng dư theo thứ tự từ dưới lên trên, cho tất cả chúng ta một số ít nhị phân 11101102 .Để đổi khác 1 số ít nhị phân sang hệ thập phân, chúng làm ngược lại. Bắt đầu từ bên trái, nhân đôi tác dụng, rồi cộng số lượng bên cạnh cho đến khi không còn số lượng nào nữa. Lấy ví dụ để đổi 1100101011012 sang hệ thập phân :

Kết quả là 3245 .Phần phân số trong 1 số ít tự nhiên được đổi khác với cùng một chiêu thức, dựa vào phép toán chuyển vị nhị phân để tăng gấp đôi hoặc giảm xuống 50% giá trị của số lượng .Với phân số nhị phân có giá trị ” 0,110101101012 “, giá trị của số lượng tiên phong của phần thập phân là 1 2 { \ displaystyle { \ begin { matrix } { \ frac { 1 } { 2 } } \ end { matrix } } }, của số lượng thứ hai là ( 1 2 ) 2 = 1 4 { \ displaystyle { \ begin { matrix } ( { \ frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 2 } = { \ frac { 1 } { 4 } } \ end { matrix } } }, vân vân. Vậy nếu tất cả chúng ta có giá trị 1 ngay sau dấu phẩy thì giá trị của số thập phân tối thiểu phải là 1 2 { \ displaystyle { \ begin { matrix } { \ frac { 1 } { 2 } } \ end { matrix } } }, và tựa như ngược lại. Nếu tất cả chúng ta gấp đôi giá trị của số lượng đó lên thì giá trị của số phải tối thiểu là 1. Điều này khiến tất cả chúng ta liên tưởng đến một thuật toán : liên tục nhân đôi số lượng tất cả chúng ta cần biến hóa, ghi lại tác dụng nếu tác dụng tối thiểu là 1, nhưng vứt đi phần số nguyên .Ví dụ : ( 1 3 ) { \ displaystyle { \ begin { matrix } ( { \ frac { 1 } { 3 } } ) \ end { matrix } } }, trong nhị phân là :

Vì vậy phần phân số nhắc đi nhắc lại 0,333 … tương tự với phần phân số nhắc đi nhắc lại trong hệ nhị phân 0,0101 ….hoặc lấy ví dụ số 0,110, trong hệ nhị phân là :

Đây cũng là một phân số vô hạn tuần hoàn 0,000110011…. Có một điều đáng ngạc nhiên là có những phân số thập phân không tuần hoàn nhưng khi chuyển sang nhị phân, nó lại trở thành một phân số tuần hoàn. Chính vì lý do này mà nhiều người thấy ngạc nhiên khi họ kiểm nghiệm thấy phép cộng 0,1 +… + 0,1 (gồm 10 số hạng) khác với giá trị một trong khi giải toán dùng phép toán phân số (floating point arithmetic). Thực tế cho thấy, phân số nhị phân chỉ không tuần hoàn khi dạng thập phân của nó là thương của phép chia giữa một số nguyên và lũy thừa cơ số

2
(

1
2

,

1
4

,

3
8

.
.
.
)

{\displaystyle 2({\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{8}}…)}
chứ không phải giữa một số nguyên và bội của

10
(

1
10

,

3
100

.
.
.
)
.

{\displaystyle 10({\frac {1}{10}},{\frac {3}{100}}…).}

Phương pháp biến hóa ở đầu cuối là cách đổi phân số nhị phân sang thập phân. Khó khăn duy nhất là trường hợp của những phân số tuần hoàn, ngoài những, chiêu thức này hoàn toàn có thể được thực thi bằng cách dịch vị trí của dấu thập phân, làm tròn thành số nguyên, đổi khác như cách ở trên, sau đó chia với số mũ của 2 tương ứng trong hệ thập phân. Lấy ví dụ :

Một cách khác để đổi khác hệ nhị phân sang thập phân nhanh hơn, so với những người đã quen thuộc với hệ thập lục phân, là làm bằng cách gián tiếp, tiên phong đổi ( x { \ displaystyle x } trong hệ nhị phân ) sang ( x { \ displaystyle x } trong hệ thập lục phân ), rồi đổi ( x { \ displaystyle x } trong hệ thập lục phân ) sang ( x { \ displaystyle x } hệ thập phân ) .

Hệ cơ số 32Sửa đổi

Số nhị phân hoàn toàn có thể đổi sang hệ cơ số 32. Do 32 = 25. Phải cần 5 ký tự số để diễn đạt thuận tiện .

Hệ thập lục phân (cơ số 16 hay hệ hexa)Sửa đổi

Số nhị phân hoàn toàn có thể đổi được sang hệ thập lục phân đôi chút thuận tiện hơn. Sự thuận tiện này là do gốc của hệ thập lục phân ( 16 ) là số mũ của gốc hệ nhị phân ( 2 ). Cụ thể hơn 16 = 24. Vậy tất cả chúng ta phải cần 4 ký tự số trong hệ nhị phân để hoàn toàn có thể diễn đạt được một ký tự số trong hệ thập lục phân .Bảng liệt kê sau đây chỉ ra cho tất cả chúng ta từng ký tự số của hệ thập lục phân, cùng với giá trị tương ứng của nó trong hệ thập phân, và một dãy bốn ký tự số tương tự trong hệ nhị phân .

Để đổi khác từ hệ thập lục phân sang số nhị phân tương tự, tất cả chúng ta chỉ đơn thuần sửa chữa thay thế những dãy ký tự số tương tự trong hệ nhị phân :
3A16 = 0011 10102
E716 = 1110 011123A16 = 0011 10102 E716 = 1110 01112

Để biến đổi một số nhị phân sang hệ thập lục phân tương đương, chúng ta phải phân nhóm các ký tự thành nhóm của bốn ký tự số (nhóm bốn con số). Nếu số lượng của các con số không phải là bội số của 4 (4, 8, 16…), thì chúng ta chỉ cần thêm các số 0 vào phía bên trái của con số, còn gọi là phép độn thêm số (padding). Chẳng hạn:

10100102 = 0101 0010 nhóm lại cùng với số độn thêm = 5216
110111012 = 1101 1101 nhóm lại = DD1610100102 = 101 0010 nhóm lại cùng với số độn thêm = 5216 110111012 = 1101 1101 nhóm lại = DD16Để đổi khác 1 số ít thập lục phân sang số thập phân tương tự, tất cả chúng ta nhân mỗi giá trị thập phân của từng số lượng trong số thập lục phân với số mũ của 16, rồi tìm tổng của những giá trị :
C0E716 = (12 × 163) + (0 × 162) + (14 × 161) + (7 × 160) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + (7 × 1) = 49.38310

Hệ bát phân (cơ số 8)Sửa đổi

C0E716 = ( 12 × 163 ) + ( 0 × 162 ) + ( 14 × 161 ) + ( 7 × 160 ) = ( 12 × 4096 ) + ( 0 × 256 ) + ( 14 × 16 ) + ( 7 × 1 ) = 49.38310Số nhị phân cũng hoàn toàn có thể được biến hóa sang hệ bát phân một cách thuận tiện, vì bát phân dùng gốc 8, và cũng là số mũ của 2 ( ví dụ điển hình 23, vậy số bát phân cần 3 ký tự số nhị phân để diễn đạt toàn vẹn một số ít bát phân ). Sự tương ứng giữa những số bát phân và những số nhị phân cũng giống như sự tương tự với tám số lượng tiên phong của hệ thập lục phân, như đã liệt kê trên bảng trước đây. Số nhị phân 000 tương tự với số bát phân 0, số nhị phân 111 tương tự với số bát phân 7, và tương tự như .

Phương pháp đổi bát phân sang nhị phân cũng tương tự như như cách làm so với hệ thập lục phân :
658 = 110 1012
178 = 001 1112658 = 110 1012 178 = 001 1112và từ nhị phân sang bát phân :
1011002 = 101 1002 nhóm lại = 548
100112 = 010 0112 nhóm lại với số độn thêm = 2381011002 = 101 1002 nhóm lại = 548 100112 = 10 0112 nhóm lại với số độn thêm = 238từ bát phân sang thập phân :
658 = (6 × 81) + (5 × 80) = (6 × 8) + (5 × 1) = 5310
1278 = (1 × 82) + (2 × 81) + (7 × 80) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 8710658 = ( 6 × 81 ) + ( 5 × 80 ) = ( 6 × 8 ) + ( 5 × 1 ) = 5310 1278 = ( 1 × 82 ) + ( 2 × 81 ) + ( 7 × 80 ) = ( 1 × 64 ) + ( 2 × 8 ) + ( 7 × 1 ) = 8710

Biểu thị số thựcSửa đổi

Những số không phải là số nguyên hoàn toàn có thể được biểu lộ bằng số mũ âm, và dùng dấu tách biệt phân số ( dấu ” phẩy ” ) làm cho chúng khác biệt khỏi những số lượng khác. Lấy ví dụ, số nhị phân 11,012 có nghĩa là :

Tổng số là 3,25 trong hệ thập phân .

Tất cả các nhị thức số hữu tỷ

p

2

a

{\displaystyle {\frac {p}{2^{a}}}}
đều có một số nhị phân hữu hạn Biểu thức nhị phân có một dãy số giới hạn sau điểm chia phân số (radix point). Các số hữu tỷ khác cũng có biểu thị nhị phân (binary representation), song thay vì là một dãy số hữu hạn, một loạt dãy các con số hữu hạn được lặp đi lặp lại, theo một tiến trình vô hạn. Chẳng hạn:

1 3 { \ displaystyle { \ frac { 1 } { 3 } } }

=

1 2 11 2 { \ displaystyle { \ frac { 1 _ { 2 } } { 11 _ { 2 } } } }

= 0.0101010101…2= 0.0101010101 … 2

12 17 { \ displaystyle { \ frac { 12 } { 17 } } }

=

1100 2 10001 2 { \ displaystyle { \ frac { 1100 _ { 2 } } { 10001 _ { 2 } } } }

= 0.10110100 10110100 10110100…2= 0.10110100 10110100 10110100 … 2

Hiện tượng biểu thị nhị phân cho một phân thức có thể là một dãy số hữu hạn (terminating) hoặc là một dãy số vô hạn cũng được thấy trong các hệ số dựa trên cơ số khác (radix-based numeral systems). Xem thêm phần giải thích như trong bản phân tích về hệ thập phân. Một biểu hiện tương tự các cách biểu thị phân số hữu hạn, dựa vào thực tế 0,111111… là tổng của cấp số nhân (geometric series) 21 + 22 + 23 +… tức là 1.

Số nhị phân vừa không phải là số hữu hạn, cũng không phải là số vô hạn thì được gọi là số vô tỷ (irrational number). Chẳng hạn:

• 0.10100100010000100000100…. dãy số có mô hình nhắc lại, nhưng dãy số mô hình nhắc lại này không có giới hạn về số lượng, cho nên được gọi là số vô tỷ
• 1.0110101000001001111001100110011111110… là một biểu thức nhị phân của

  2 { \ displaystyle { \ sqrt { 2 } } }

  (căn bậc hai của 2), một số vô tỷ khác. Số vô tỷ này không có mô hình nhắc lại có thể nhận dạng, song để chứng minh rằng

  2 { \ displaystyle { \ sqrt { 2 } } }

  là một số vô tỷ thì chúng ta phải đòi hỏi bằng chứng hơn thế này nữa. Xin xem trong bài về số vô tỷ để được rõ thêm.

Tếu nhị phânSửa đổi

• Binary is as easy as 1, 10, 11. (Nhị phân dễ như là 1, 10, 11 vậy.)
• I’m just 10 people short of a threesome! (Tôi chỉ thiếu mỗi 10 người để được một nhóm 3 hú hí.)
• There are 10 kinds of people in the worldthose who understand binary, and those who don’t.” (Chỉ có 10 loại người trên thế gian này mà thôi, loại hiểu nhị phân và loại không hiểu nhị phân..)
• 11 is the magic number. (11 là một con số kỳ diệu.)

Mã nhị phân sang kí tựSửa đổi

Bài chi tiết cụ thể : ASCII § Ký tự ASCII in được

Xem thêmSửa đổi

• Hệ thập lục phân
• Hệ thập phân
• Cơ số 36

Chú thíchSửa đổi

1. ^

   Aiton, Eric J. (1985), Leibniz: A Biography, Taylor & Francis, tr.2458, ISBN0-85274-470-6

2. ^

   Boole, George (2009) [1854]. An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities ( PDF ). New York: Cambridge University Press. ISBN9781108001533.

3. ^

   Shannon, Claude Elwood (1940). A symbolic analysis of relay and switching circuits. Cambridge: Massachusetts Institute of Technology.

4. ^

   National Inventors Hall of Fame George R. Stibitz. ngày 20 tháng 8 năm 2008 .

5. ^

   George Stibitz: Bio. Math & Computer Science Department, Denison University. ngày 30 tháng 4 năm 2004 .

6. ^

   Pioneers The people and ideas that made a difference George Stibitz (19041995). Kerry Redshaw. ngày 20 tháng 2 năm 2006 .

7. ^

   George Robert Stibitz Obituary. Computer History Association of California. ngày 6 tháng 2 năm 1995 .

   Xem thêm: Cẩm nang làm đẹp cho da mặt từ các nguyên liệu có sẵn

Tham khảoSửa đổi

• Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007), Microcontroller programming: the microchip PIC, Boca Raton, FL: CRC Press, p.37, ISBN 0849371899

Liên kết ngoàiSửa đổi

• Converting Decimal, Hexadecimal, text, numbers, and ascii to binary and back
• Binary numeral system
• Indian mathematics
• Binary System at cut-the-knot
• Conversion of Fractions at cut-the-knot
• Converting Hexadecimal to Decimal
• Converting Decimal to Hexadecimal
• Weisstein, Eric W., ” Binary ” từ MathWorld .

Video liên quan